Reel sayılar kümesinde "≤" bağıntısı için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Yansıma özelliği vardır
B) Simetri özelliği vardır
C) Geçişme özelliği vardır
D) Karşılaştırılabilirlik özelliği vardır
Reel sayılar kümesinde "$\le$" (küçük veya eşit) bağıntısının özelliklerini adım adım inceleyelim:
- A) Yansıma özelliği vardır:
- Bir bağıntının yansıma özelliğine sahip olması için, kümedeki her $a$ elemanı için $a \le a$ koşulunun sağlanması gerekir.
- Reel sayılar için, herhangi bir $a$ reel sayısı kendisinden küçük veya eşit midir? Evet, her sayı kendisine eşittir, dolayısıyla kendisinden küçük veya eşittir. Örneğin, $5 \le 5$ doğrudur.
- Bu nedenle, "$\le$" bağıntısının yansıma özelliği vardır. Bu ifade doğrudur.
- B) Simetri özelliği vardır:
- Bir bağıntının simetri özelliğine sahip olması için, eğer $a \le b$ ise, bu durumda $b \le a$ koşulunun da sağlanması gerekir.
- Reel sayılar için bu durumu kontrol edelim: Eğer $a \le b$ ise, her zaman $b \le a$ mıdır?
- Örnek olarak, $a=2$ ve $b=5$ alalım. $2 \le 5$ ifadesi doğrudur. Ancak, $5 \le 2$ ifadesi yanlıştır.
- Simetri özelliğinin sağlanması için bu koşulun tüm eleman çiftleri için geçerli olması gerekir. Bulduğumuz karşı örnek bu özelliğin olmadığını gösterir.
- Bu nedenle, "$\le$" bağıntısının simetri özelliği yoktur. Bu ifade yanlıştır.
- C) Geçişme özelliği vardır:
- Bir bağıntının geçişme özelliğine sahip olması için, eğer $a \le b$ ve $b \le c$ ise, bu durumda $a \le c$ koşulunun sağlanması gerekir.
- Reel sayılar için bu durumu kontrol edelim: Eğer bir sayı başka bir sayıdan küçük veya eşitse ve o sayı da üçüncü bir sayıdan küçük veya eşitse, ilk sayı üçüncü sayıdan küçük veya eşit midir?
- Örnek olarak, $a=2$, $b=5$ ve $c=8$ alalım. $2 \le 5$ ve $5 \le 8$ ifadeleri doğrudur. Bu durumda $2 \le 8$ ifadesi de doğrudur.
- Bu özellik reel sayılar kümesinde her zaman geçerlidir.
- Bu nedenle, "$\le$" bağıntısının geçişme özelliği vardır. Bu ifade doğrudur.
- D) Karşılaştırılabilirlik özelliği vardır:
- Bir bağıntının karşılaştırılabilirlik (veya tam sıralama) özelliğine sahip olması için, kümedeki herhangi iki farklı $a$ ve $b$ elemanı için ya $a \le b$ ya da $b \le a$ koşulunun sağlanması gerekir.
- Reel sayılar için, herhangi iki farklı reel sayı verildiğinde, bu sayılardan biri diğerinden küçük veya eşittir. Örneğin, $3$ ve $7$ sayıları için $3 \le 7$ doğrudur. $10$ ve $4$ sayıları için $4 \le 10$ doğrudur.
- Yani, reel sayılar kümesindeki her iki eleman birbiriyle karşılaştırılabilir.
- Bu nedenle, "$\le$" bağıntısının karşılaştırılabilirlik özelliği vardır. Bu ifade doğrudur.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, "$\le$" bağıntısı için yanlış olan özelliğin simetri özelliği olduğu görülmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
