Bir ABC üçgeninde A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu 9 cm, B köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu 12 cm'dir. Kenarortayların kesişim noktası G olduğuna göre, |AG| + |BG| toplamı kaç cm'dir?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
Bu soruda bir üçgenin kenarortayları ve ağırlık merkezi ile ilgili temel bir özelliği kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Kenarortay ve Ağırlık Merkezi Kavramları:
- Bir üçgende, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasına kenarortay denir.
- Üç kenarortayın kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir ve genellikle $G$ harfi ile gösterilir.
- Ağırlık merkezi, her bir kenarortayı köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Bu, bizim için çok önemli bir bilgidir!
- A Köşesinden Çizilen Kenarortay ($V_a$) İçin:
- Soruda A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu $9$ cm olarak verilmiştir. Bu kenarortaya $V_a$ diyelim. Yani, $A$ köşesinden karşı kenarın orta noktasına olan uzaklık $9$ cm'dir.
- Ağırlık merkezi $G$, bu kenarortayı $A$ köşesinden itibaren $2:1$ oranında böler. Yani, $|AG|$ kısmı kenarortayın $\frac{2}{3}$'ü, diğer kısmı ise $\frac{1}{3}$'ü kadardır.
- O halde, $|AG|$ uzunluğunu hesaplayalım:
$|AG| = \frac{2}{3} \times (\text{A'dan çizilen kenarortayın uzunluğu})$
$|AG| = \frac{2}{3} \times 9$ cm
$|AG| = 2 \times 3$ cm
$|AG| = 6$ cm.
- B Köşesinden Çizilen Kenarortay ($V_b$) İçin:
- Soruda B köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu $12$ cm olarak verilmiştir. Bu kenarortaya $V_b$ diyelim. Yani, $B$ köşesinden karşı kenarın orta noktasına olan uzaklık $12$ cm'dir.
- Ağırlık merkezi $G$, bu kenarortayı $B$ köşesinden itibaren $2:1$ oranında böler. Yani, $|BG|$ kısmı kenarortayın $\frac{2}{3}$'ü, diğer kısmı ise $\frac{1}{3}$'ü kadardır.
- O halde, $|BG|$ uzunluğunu hesaplayalım:
$|BG| = \frac{2}{3} \times (\text{B'den çizilen kenarortayın uzunluğu})$
$|BG| = \frac{2}{3} \times 12$ cm
$|BG| = 2 \times 4$ cm
$|BG| = 8$ cm.
- İstenen Toplamı Bulalım:
- Soru bizden $|AG| + |BG|$ toplamını bulmamızı istiyor.
- Hesapladığımız değerleri yerine koyalım:
$|AG| + |BG| = 6 \text{ cm} + 8 \text{ cm}$
$|AG| + |BG| = 14 \text{ cm}$.
Yapılan hesaplamalara göre $|AG| + |BG|$ toplamı $14$ cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
