Bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O, iç teğet çemberinin merkezi I'dır. m(∠BAC) = 60° ve m(∠ABC) = 80° olduğuna göre, m(∠OAI) kaç derecedir?
A) 10Bir üçgenin iç açılarının toplamı $180^\circ$'dir. Bize $m(\angle BAC) = 60^\circ$ ve $m(\angle ABC) = 80^\circ$ verilmiş.
Üçüncü açı olan $m(\angle ACB)$'yi bulalım:
$m(\angle ACB) = 180^\circ - m(\angle BAC) - m(\angle ABC)$
$m(\angle ACB) = 180^\circ - 60^\circ - 80^\circ = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
Demek ki $m(\angle ACB) = 40^\circ$.
İç teğet çemberin merkezi (I), üçgenin açıortaylarının kesim noktasıdır. Bu nedenle, AI doğru parçası $\angle BAC$ açısının açıortayıdır.
$m(\angle BAI) = \frac{m(\angle BAC)}{2}$
$m(\angle BAI) = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
Çevrel çemberin merkezi (O), üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır. Ayrıca, O noktası üçgenin köşelerine eşit uzaklıktadır ($OA = OB = OC$, çevrel çemberin yarıçaplarıdır).
Bu durumda, $\triangle OAB$ bir ikizkenar üçgendir ($OA = OB$).
Bir kenarın çevrel çember merkezinde oluşturduğu açı, o kenarı gören çevre açının iki katıdır. Yani, $m(\angle AOB) = 2 \times m(\angle ACB)$.
$m(\angle AOB) = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$.
Şimdi $\triangle OAB$ ikizkenar üçgeninde taban açılarını bulalım:
$m(\angle OAB) = m(\angle OBA) = \frac{180^\circ - m(\angle AOB)}{2}$
$m(\angle OAB) = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$.
Alternatif olarak, $m(\angle OAB)$ açısı için genel bir formül $90^\circ - m(\angle ACB)$'dir. Bu formül de aynı sonucu verir ve daha hızlıdır:
$m(\angle OAB) = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.
Bizden $m(\angle OAI)$ açısı isteniyor. Bu açı, $m(\angle BAO)$ ve $m(\angle BAI)$ açıları arasındaki farktır.
Yukarıdaki adımlarda bulduğumuz değerleri yerine koyalım:
$m(\angle OAI) = |m(\angle BAO) - m(\angle BAI)|$
$m(\angle OAI) = |50^\circ - 30^\circ|$
$m(\angle OAI) = 20^\circ$.
Bu durumda, hesaplamalarımıza göre $m(\angle OAI) = 20^\circ$ olmalıdır.
Cevap A seçeneğidir.
