Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Aralıklarla Gösterimi Test 2

|2x - 1| ≥ 5 eşitsizliğini sağlayan en küçük iki pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, mutlak değer içeren bir eşitsizliği çözerek en küçük iki pozitif tam sayıyı bulma ve toplama sorusunu adım adım inceleyeceğiz. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Adım: Mutlak Değer Eşitsizliğini Anlamak

Mutlak değer eşitsizliklerinde, $|A| \ge B$ şeklindeki bir ifade, $A$'nın sıfıra olan uzaklığının $B$'ye eşit veya $B$'den büyük olduğu anlamına gelir. Bu tür eşitsizlikler iki ayrı eşitsizliğe ayrılır:

• $A \ge B$
• veya $A \le -B$

Bizim sorumuzda, eşitsizliğimiz $|2x - 1| \ge 5$ şeklindedir. Burada $A = 2x - 1$ ve $B = 5$'tir.

• 2. Adım: Eşitsizliği İki Parçaya Ayırmak

Yukarıdaki kuralı uygulayarak, eşitsizliğimizi iki ayrı duruma ayırırız:

• Durum 1: $2x - 1 \ge 5$
• Durum 2: $2x - 1 \le -5$
• 3. Adım: Birinci Durumu Çözmek

Şimdi ilk eşitsizliği çözelim:

• $2x - 1 \ge 5$
• Eşitsizliğin her iki tarafına $1$ ekleyelim: $2x \ge 5 + 1$
• $2x \ge 6$
• Her iki tarafı $2$'ye bölelim: $x \ge 3$
• Bu, $x$ değerinin $3$ veya $3$'ten büyük olması gerektiği anlamına gelir.
• 4. Adım: İkinci Durumu Çözmek

Şimdi de ikinci eşitsizliği çözelim:

• $2x - 1 \le -5$
• Eşitsizliğin her iki tarafına $1$ ekleyelim: $2x \le -5 + 1$
• $2x \le -4$
• Her iki tarafı $2$'ye bölelim: $x \le -2$
• Bu, $x$ değerinin $-2$ veya $-2$'den küçük olması gerektiği anlamına gelir.
• 5. Adım: Çözüm Kümelerini Birleştirmek

Eşitsizliğimizin çözüm kümesi, $x \le -2$ veya $x \ge 3$ koşullarını sağlayan tüm $x$ değerleridir. Yani, $x$ sayısı $-2$'den küçük veya eşit olabilir ya da $3$'ten büyük veya eşit olabilir.

• 6. Adım: En Küçük İki Pozitif Tam Sayıyı Bulmak

Soru bizden bu eşitsizliği sağlayan en küçük iki pozitif tam sayının toplamını istiyor.

• $x \le -2$ koşulunu sağlayan tam sayılar $\dots, -4, -3, -2$ şeklindedir. Bu sayılar arasında pozitif tam sayı yoktur.
• $x \ge 3$ koşulunu sağlayan tam sayılar $3, 4, 5, 6, \dots$ şeklindedir. Bu sayılar arasında pozitif tam sayılar bulunur.
• Bu pozitif tam sayılar arasında en küçük olanı $3$'tür.
• İkinci en küçük pozitif tam sayı ise $4$'tür.
• 7. Adım: En Küçük İki Pozitif Tam Sayının Toplamını Hesaplamak

Bulduğumuz en küçük iki pozitif tam sayı $3$ ve $4$'tür. Bu sayıların toplamını bulalım:

• $3 + 4 = 7$

Bu durumda, eşitsizliği sağlayan en küçük iki pozitif tam sayının toplamı $7$'dir.

Cevap C seçeneğidir.