ABC üçgeninde [AN], A açısının açıortayıdır. |AB| = 10 cm, |AC| = 14 cm ve |BN| = 5 cm olduğuna göre |NC| kaç cm'dir?
A) 6Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgende açıortay teoremini kullanarak bilinmeyen bir kenar uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Bize bir $ABC$ üçgeni verilmiş. $[AN]$ doğru parçası, $A$ açısının açıortayıdır. Yani $A$ açısını iki eşit parçaya bölmektedir. Üçgenin $AB$ kenarının uzunluğu $10$ cm, $AC$ kenarının uzunluğu $14$ cm ve açıortayın karşı kenarı böldüğü parçalardan $BN$ parçasının uzunluğu $5$ cm olarak verilmiş. Bizden $NC$ parçasının uzunluğunu bulmamız isteniyor.
Bir üçgende bir açının açıortayı verildiğinde ve kenar uzunlukları ile açıortayın karşı kenarı böldüğü parçalar arasındaki ilişki sorulduğunda, aklımıza hemen Açıortay Teoremi gelmelidir. Bu teorem, geometri problemlerinde sıkça karşımıza çıkan ve oldukça kullanışlı bir kuraldır.
Açıortay Teoremi der ki: Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı diğer iki kenarın oranında böler. Yani, eğer $\triangle ABC$'de $[AN]$ doğru parçası $A$ açısının açıortayı ise, aşağıdaki oran bağıntısı geçerlidir:
$\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BN|}{|NC|}$
Şimdi soruda bize verilen değerleri bu formülde yerine yazalım:
Formülümüz şu hale gelir:
$\frac{10}{14} = \frac{5}{x}$
Bu bir oran-orantı denklemidir. $x$ değerini bulmak için içler dışlar çarpımı yapabiliriz:
$10 \cdot x = 14 \cdot 5$
$10x = 70$
Şimdi $x$'i yalnız bırakmak için her iki tarafı $10$'a bölelim:
$x = \frac{70}{10}$
$x = 7$ cm
Bulduğumuz $x=7$ değerini oranımıza geri koyarsak: $\frac{10}{14} = \frac{5}{7}$. Her iki tarafı da sadeleştirdiğimizde (sol tarafı $2$ ile sadeleştirirsek) $\frac{5}{7} = \frac{5}{7}$ olduğunu görürüz. Bu da sonucumuzun doğru olduğunu gösterir.
Buna göre, $|NC|$ uzunluğu $7$ cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
