Şekildeki koordinat sisteminde \( \vec{P} \) vektörünün başlangıç noktası (2,3), bitiş noktası (5,7)'dir. Buna göre \( \vec{P} \) vektörüne eşit olan vektör aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) Başlangıcı (0,0), bitişi (3,4) olan vektörİki vektörün birbirine eşit olması demek, bu vektörlerin hem büyüklüklerinin (uzunluklarının) hem de yönlerinin aynı olması demektir. Koordinat sisteminde bu, vektörlerin bileşenlerinin aynı olması anlamına gelir. Bir vektörün başlangıç noktası $(x_1, y_1)$ ve bitiş noktası $(x_2, y_2)$ ise, bu vektörün bileşenleri $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ olarak bulunur.
Soruda verilen $\vec{P}$ vektörünün başlangıç noktası $(2,3)$ ve bitiş noktası $(5,7)$'dir. Şimdi bu vektörün bileşenlerini hesaplayalım:
Yatay bileşen (x bileşeni): Bitiş noktasının x koordinatı - Başlangıç noktasının x koordinatı $= 5 - 2 = 3$
Dikey bileşen (y bileşeni): Bitiş noktasının y koordinatı - Başlangıç noktasının y koordinatı $= 7 - 3 = 4$
Buna göre, $\vec{P}$ vektörünün bileşenleri $(3,4)$'tür. Yani $\vec{P} = (3,4)$ diyebiliriz.
Şimdi her bir seçenekte verilen vektörün bileşenlerini hesaplayalım ve $\vec{P}$ vektörünün bileşenleri olan $(3,4)$ ile karşılaştıralım:
A) Başlangıcı $(0,0)$, bitişi $(3,4)$ olan vektör:
Bileşenleri: $(3 - 0, 4 - 0) = (3,4)$
B) Başlangıcı $(1,1)$, bitişi $(4,5)$ olan vektör:
Bileşenleri: $(4 - 1, 5 - 1) = (3,4)$
C) Başlangıcı $(3,3)$, bitişi $(6,7)$ olan vektör:
Bileşenleri: $(6 - 3, 7 - 3) = (3,4)$
D) Başlangıcı $(4,4)$, bitişi $(7,8)$ olan vektör:
Bileşenleri: $(7 - 4, 8 - 4) = (3,4)$
Gördüğümüz gibi, B seçeneğindeki vektörün bileşenleri $(3,4)$'tür. Bu da $\vec{P}$ vektörünün bileşenleriyle aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
