Asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^a \times 3^b \times 5 \) olan bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 24'tür. Buna göre a + b toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
İşte adım adım çözüm:
Adım 1: Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı Formülü
Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_n^{a_n}$ ise, bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı $(a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times ... \times (a_n + 1)$ formülü ile bulunur. Bu formül, her bir asal çarpanın kuvvetinin 1 fazlasının çarpımını alarak elde edilir.
Adım 2: Verilen Sayının Bölen Sayısı
Soruda verilen sayı $2^a \times 3^b \times 5$ şeklinde. Burada 5'in kuvveti aslında 1'dir, yani $5^1$. Bu durumda, sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı $(a + 1) \times (b + 1) \times (1 + 1)$ olur.
Adım 3: Denklemi Kurma
Bölen sayısının 24 olduğu bilgisi verilmiş. O halde, $(a + 1) \times (b + 1) \times 2 = 24$ denklemini kurabiliriz.
Adım 4: Denklemi Sadeleştirme
Denklemi sadeleştirmek için her iki tarafı 2'ye bölelim: $(a + 1) \times (b + 1) = 12$.
Adım 5: Olası Değerleri Bulma
Şimdi $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $(a + 1)$ ve $(b + 1)$'in çarpımının 12 olduğu durumları düşünelim. 12'nin çarpanları şunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu durumda olası durumlar:
$a + 1 = 3$ ve $b + 1 = 4$ (Buradan $a = 2$ ve $b = 3$ gelir)
$a + 1 = 4$ ve $b + 1 = 3$ (Buradan $a = 3$ ve $b = 2$ gelir)
$a + 1 = 2$ ve $b + 1 = 6$ (Buradan $a = 1$ ve $b = 5$ gelir)
$a + 1 = 6$ ve $b + 1 = 2$ (Buradan $a = 5$ ve $b = 1$ gelir)
$a + 1 = 1$ ve $b + 1 = 12$ (Buradan $a = 0$ ve $b = 11$ gelir. Ancak $a$ ve $b$'nin pozitif tam sayı olması gerektiğinden bu durum geçersizdir)
$a + 1 = 12$ ve $b + 1 = 1$ (Buradan $a = 11$ ve $b = 0$ gelir. Ancak $a$ ve $b$'nin pozitif tam sayı olması gerektiğinden bu durum geçersizdir)
Adım 6: a + b Toplamını Bulma
Her geçerli durum için $a + b$ toplamını hesaplayalım:
$a = 2$ ve $b = 3$ için $a + b = 2 + 3 = 5$
$a = 3$ ve $b = 2$ için $a + b = 3 + 2 = 5$
$a = 1$ ve $b = 5$ için $a + b = 1 + 5 = 6$
$a = 5$ ve $b = 1$ için $a + b = 5 + 1 = 6$
Adım 7: Doğru Seçeneği Belirleme
Şıklarda sadece 5 var. Bu nedenle doğru cevap 5 olmalıdır.
