Bir marangoz 48 cm ve 60 cm uzunluğundaki iki tahta çubuğu eşit uzunlukta, hiç artmayacak şekilde kesmek istiyor. Her bir parçanın uzunluğu santimetre cinsinden tam sayı olduğuna göre, en az kaç parça tahta elde edilir?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bu problemde, iki farklı uzunluktaki tahta çubuğu eşit uzunlukta parçalara ayırmak istiyoruz. Önemli olan, hiç artmayacak olması ve en az sayıda parça elde etmek istememiz. En az parça elde etmek için, her bir parçanın uzunluğunun mümkün olan en büyük değeri alması gerekir. İşte bu noktada, matematikteki önemli bir kavram olan En Büyük Ortak Bölen (EBOB) devreye giriyor.
- Adım 1: Parçaların Uzunluğunu Bulma (EBOB)
- Marangozun elindeki tahtalar $48 \text{ cm}$ ve $60 \text{ cm}$ uzunluğundadır. Bu tahtaları eşit uzunlukta ve hiç artmayacak şekilde kesmek istiyorsak, keseceğimiz parçanın uzunluğu hem $48$'in hem de $60$'ın bir böleni olmalıdır. En az parça elde etmek için ise bu ortak bölenlerin en büyüğünü bulmalıyız. Yani $48$ ve $60$'ın EBOB'unu (En Büyük Ortak Bölen) bulacağız.
- EBOB'u bulmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanalım:
- $48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3$
- $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
- Ortak asal çarpanların en küçük üslerini alarak EBOB'u buluruz:
- EBOB$(48, 60) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
- Demek ki, her bir parçanın uzunluğu $12 \text{ cm}$ olmalıdır. Bu, elde edebileceğimiz en uzun parça boyudur.
- Adım 2: Her Bir Tahtadan Kaç Parça Elde Edildiğini Bulma
- Şimdi, $12 \text{ cm}$ uzunluğundaki parçalardan her bir tahtadan kaç tane elde edeceğimizi hesaplayalım:
- $48 \text{ cm}$ uzunluğundaki tahtadan: $48 \div 12 = 4$ parça
- $60 \text{ cm}$ uzunluğundaki tahtadan: $60 \div 12 = 5$ parça
- Adım 3: Toplam Parça Sayısını Bulma
- Elde edilen toplam parça sayısını bulmak için bu iki değeri toplarız:
- Toplam parça sayısı $= 4 + 5 = 9$ parça
Bu durumda, marangoz en az $9$ parça tahta elde eder.
Cevap B seçeneğidir.
