$\arccos\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)$ ifadesinin değeri kaçtır?
A) $\frac{\pi}{3}$Bu soruyu çözmek için, ters trigonometrik fonksiyonların (özellikle $\arccos$) tanımını ve özelliklerini adım adım inceleyelim.
$\arccos(x)$ (veya $\cos^{-1}(x)$) fonksiyonu, kosinüsü $x$ olan açıyı verir. Bu fonksiyonun en önemli özelliği, değer kümesinin (çıktı aralığının) $[0, \pi]$ olmasıdır. Yani, $\arccos$ fonksiyonundan çıkan sonuç her zaman $0$ ile $\pi$ (dahil) arasında bir açı olmalıdır. Bu aralık $0^\circ$ ile $180^\circ$ arasındaki açılara karşılık gelir.
Öncelikle parantez içindeki $\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ ifadesinin değerini bulmalıyız. Açımız $\frac{4\pi}{3}$'tür.
$\frac{4\pi}{3}$ açısı, birim çemberde üçüncü bölgede yer alır. Çünkü $\pi = \frac{3\pi}{3}$ ve $2\pi = \frac{6\pi}{3}$ olduğundan, $\frac{4\pi}{3}$ açısı $\pi$ ile $\frac{3\pi}{2}$ (yani $180^\circ$ ile $270^\circ$) arasındadır.
Üçüncü bölgedeki bir açının kosinüs değeri negatiftir.
Referans açısını bulalım: $\frac{4\pi}{3} - \pi = \frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
Bu durumda, $\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ olur.
$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ değerinin $\frac{1}{2}$ olduğunu biliyoruz.
Dolayısıyla, $\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$'dir.
Şimdi orijinal ifade $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ haline geldi.
Şimdi kosinüsü $-\frac{1}{2}$ olan ve $\arccos$ fonksiyonunun değer aralığı olan $[0, \pi]$ aralığında bulunan açıyı bulmalıyız.
Kosinüs değeri negatif olduğu için, aradığımız açı ikinci bölgede olmalıdır (çünkü $\arccos$ fonksiyonunun çıktısı $[0, \pi]$ aralığındadır ve bu aralıkta kosinüsün negatif olduğu tek bölge ikinci bölgedir).
Kosinüsü $\frac{1}{2}$ olan açı $\frac{\pi}{3}$'tür (yani $60^\circ$).
İkinci bölgede, referans açısı $\frac{\pi}{3}$ olan açı $\pi - \frac{\pi}{3}$ şeklinde bulunur.
$\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$'tür.
Bu açı, $\frac{2\pi}{3}$, $[0, \pi]$ aralığında mıdır? Evet, $\frac{2\pi}{3}$ yaklaşık $120^\circ$'dir ve bu aralıktadır.
Bu nedenle, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$'tür.
Sonuç olarak, $\arccos\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) = \frac{2\pi}{3}$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
