Fonksiyon kaydırma kuralları, öteleme ve dönüşümler Test 2

🎓 Fonksiyon kaydırma kuralları, öteleme ve dönüşümler Test 2 - Ders Notu

Bu ders notu, fonksiyonların grafikleri üzerindeki kaydırma, öteleme, yansıma ve esneme/sıkıştırma gibi dönüşümleri anlamanıza yardımcı olacak temel kuralları özetlemektedir. Testteki soruları çözerken bu bilgilere başvurabilirsin.

📌 Dikey Öteleme (Yukarı-Aşağı Kaydırma)

Bir fonksiyonun grafiğini dikey olarak yukarı veya aşağı kaydırmak için, fonksiyonun kendisine bir sabit ekler veya çıkarırız. Bu, grafiğin y-ekseni boyunca hareket etmesini sağlar.

• Eğer $f(x) \rightarrow f(x) + c$ ise (burada $c > 0$), grafik $c$ birim **yukarı** kayar.
• Eğer $f(x) \rightarrow f(x) - c$ ise (burada $c > 0$), grafik $c$ birim **aşağı** kayar.

💡 İpucu: Dikey ötelemede, $c$ değeri fonksiyonun dışına eklenir veya çıkarılır. İşaret neyse, hareket yönü de odur (artı yukarı, eksi aşağı).

📌 Yatay Öteleme (Sağa-Sola Kaydırma)

Bir fonksiyonun grafiğini yatay olarak sağa veya sola kaydırmak için, fonksiyonun içindeki $x$ değerinden bir sabit çıkarır veya ekleriz. Bu, grafiğin x-ekseni boyunca hareket etmesini sağlar.

• Eğer $f(x) \rightarrow f(x - c)$ ise (burada $c > 0$), grafik $c$ birim **sağa** kayar.
• Eğer $f(x) \rightarrow f(x + c)$ ise (burada $c > 0$), grafik $c$ birim **sola** kayar.

⚠️ Dikkat: Yatay ötelemede, işaretin tersi yönde hareket ederiz! Yani $x-c$ sağa, $x+c$ sola kaydırır. Bunu bir tuzağa düşmek gibi düşünebilirsin.

📌 Yansımalar (Refleksiyonlar)

Bir fonksiyonun grafiğini bir eksen etrafında yansıtmak, grafiğin ayna görüntüsünü oluşturmaktır.

• Eğer $f(x) \rightarrow -f(x)$ ise, grafik **x-eksenine göre yansır**. Yani tüm y-değerleri işaret değiştirir.
• Eğer $f(x) \rightarrow f(-x)$ ise, grafik **y-eksenine göre yansır**. Yani tüm x-değerleri işaret değiştirir.

💡 İpucu: Eksi işaret fonksiyonun dışındaysa ($-f(x)$), yansıma x-eksenine göre; içindeyse ($f(-x)$), yansıma y-eksenine göredir.

📌 Dikey Germe ve Sıkıştırma

Fonksiyonun çıktısını (y-değerlerini) bir sabit ile çarpmak, grafiği dikey olarak esnetir veya sıkıştırır.

• Eğer $f(x) \rightarrow c \cdot f(x)$ ise (burada $c > 1$), grafik dikey olarak $c$ kat **gerilir** (uzar).
• Eğer $f(x) \rightarrow c \cdot f(x)$ ise (burada $0 < c < 1$), grafik dikey olarak $c$ kat **sıkışır** (kısalır).

⚠️ Dikkat: Dikey dönüşümlerde, $c$ değeri fonksiyonun dışındadır ve sezgisel olarak çalışır (büyük $c$ gerer, küçük $c$ sıkıştırır).

📌 Yatay Germe ve Sıkıştırma

Fonksiyonun girdisini (x-değerlerini) bir sabit ile çarpmak, grafiği yatay olarak esnetir veya sıkıştırır.

• Eğer $f(x) \rightarrow f(c \cdot x)$ ise (burada $c > 1$), grafik yatay olarak $1/c$ kat **sıkışır**.
• Eğer $f(x) \rightarrow f(c \cdot x)$ ise (burada $0 < c < 1$), grafik yatay olarak $1/c$ kat **gerilir**.

💡 İpucu: Yatay dönüşümlerde, $c$ değeri fonksiyonun içindedir ve sezginin tersine çalışır! $c$ büyüdükçe grafik sıkışır, küçüldükçe gerilir.

📌 Mutlak Değer Dönüşümleri

Mutlak değer fonksiyonları, grafiklerin belirli kısımlarını yansıtarak farklı şekiller oluşturur.

• Eğer $f(x) \rightarrow |f(x)|$ ise, x-ekseninin altındaki (negatif y-değerli) tüm kısımlar x-eksenine göre yukarıya yansıtılır. X-ekseninin üstündeki kısımlar değişmez.
• Eğer $f(x) \rightarrow f(|x|)$ ise, y-ekseninin solundaki (negatif x-değerli) kısım silinir ve y-ekseninin sağındaki (pozitif x-değerli) kısım y-eksenine göre sola yansıtılır. Grafik y-eksenine göre simetrik hale gelir.

⚠️ Dikkat: $|f(x)|$ dönüşümünde grafik asla x-ekseninin altına inmezken, $f(|x|)$ dönüşümünde grafik y-eksenine göre simetriktir.

📌 Dönüşümlerin Sırası ve Birleşik Dönüşümler

Birden fazla dönüşüm uygulandığında, genellikle bir sıra izlemek önemlidir. Genellikle şu sıra takip edilir:

• Yatay kaydırmalar (içteki $x$ ile ilgili işlemler).
• Yatay germe/sıkıştırma ve yansımalar (içteki $x$'in katsayısı ve işareti).
• Dikey germe/sıkıştırma ve yansımalar (fonksiyonun dışındaki katsayı ve işaret).
• Dikey kaydırmalar (fonksiyonun dışına eklenen/çıkarılan sabit).

💡 İpucu: Unutma, dönüşümlerin sırası önemlidir! $f(x) \rightarrow 2f(x)+1$ ile $f(x) \rightarrow 2(f(x)+1)$ farklı sonuçlar verir. Parantez içindeki işlemler önceliklidir.