Bir rasyonel sayı dizisi olan \( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots \) veriliyor. Bu dizi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Azalan bir dizidirBir dizinin artan, azalan veya sabit olduğunu anlamak için ardışık terimlerini karşılaştırmamız gerekir. Şimdi adım adım bu diziyi inceleyelim:
Verilen dizi $ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots $ şeklindedir.
Bu dizinin terimlerine baktığımızda, her terimin payı terim sırasına ($n$) eşitken, paydası terim sırasının bir fazlasıdır. Bu durumda dizinin genel terimi $a_n = \frac{n}{n+1}$ olarak yazılabilir.
Örneğin, $n=1$ için $a_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$, $n=2$ için $a_2 = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$ ve $n=3$ için $a_3 = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ olur. Bu örnekler genel terim kuralımızın doğru olduğunu gösterir.
Bir dizinin artan, azalan veya sabit olduğunu belirlemek için aşağıdaki tanımları kullanırız:
Artan Dizi: Her $n$ için $a_{n+1} > a_n$ ise dizi artandır (bir sonraki terim, bir önceki terimden büyüktür).
Azalan Dizi: Her $n$ için $a_{n+1} < a_n$ ise dizi azalandır (bir sonraki terim, bir önceki terimden küçüktür).
Sabit Dizi: Her $n$ için $a_{n+1} = a_n$ ise dizi sabittir (tüm terimler birbirine eşittir).
Dizinin artan mı, azalan mı olduğunu anlamak için genel terim $a_n$ ile bir sonraki terim olan $a_{n+1}$'i karşılaştırmalıyız.
Genel terimimiz $a_n = \frac{n}{n+1}$ olduğuna göre, $a_{n+1}$ terimi $n$ yerine $n+1$ yazarak bulunur:
$a_n = \frac{n}{n+1}$
$a_{n+1} = \frac{(n+1)}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2}$
Şimdi $a_{n+1}$ ile $a_n$ arasındaki farkı inceleyelim. Eğer fark pozitifse $a_{n+1} > a_n$, negatifse $a_{n+1} < a_n$ olur.
$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}$
Bu iki kesri çıkarabilmek için ortak paydaya getirmemiz gerekir. Ortak payda $(n+2)(n+1)$'dir.
$a_{n+1} - a_n = \frac{(n+1) \cdot (n+1)}{(n+2) \cdot (n+1)} - \frac{n \cdot (n+2)}{(n+1) \cdot (n+2)}$
$a_{n+1} - a_n = \frac{(n^2 + 2n + 1) - (n^2 + 2n)}{(n+2)(n+1)}$
Pay kısmındaki parantezleri açıp sadeleştirelim:
$a_{n+1} - a_n = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+2)(n+1)}$
$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+2)(n+1)}$
Bulduğumuz fark $ \frac{1}{(n+2)(n+1)} $ ifadesidir. Dizinin terim sırası olan $n$ bir pozitif tam sayı (yani $n \ge 1$) olduğu için, hem $n+2$ hem de $n+1$ pozitif değerler alacaktır. Dolayısıyla, $(n+2)(n+1)$ çarpımı da her zaman pozitiftir.
Payda 1 olduğu için, kesrin değeri de her zaman pozitiftir.
Yani, $a_{n+1} - a_n > 0$ sonucunu elde ettik. Bu eşitsizlik, $a_{n+1} > a_n$ anlamına gelir.
Her bir terim, kendinden önceki terimden büyük olduğu için bu dizi artan bir dizidir.
Cevap B seçeneğidir.
