A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur?
A) 24Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, verilen bir kümenin alt kümeleri arasından belirli bir koşulu sağlayanları bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim:
Öncelikle verilen kümeyi ve elemanlarını inceleyelim:
A = ${1, 2, 3, 4, 5}$ kümesinin eleman sayısı $n(A) = 5$'tir.
Bu kümedeki çift sayılar: ${2, 4}$
Bu kümedeki tek sayılar: ${1, 3, 5}$
Bir kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$ formülüyle bulunur, burada $n$ kümenin eleman sayısıdır.
A kümesinin eleman sayısı $5$ olduğu için, toplam alt küme sayısı $2^5 = 32$'dir.
"En az bir çift sayı bulunur" demek, alt kümenin içinde $2$, $4$ veya hem $2$ hem de $4$ sayılarından en az birinin olması demektir. Bu tür soruları çözmenin en kolay yolu, tüm alt kümelerden, istenen koşulu sağlamayan alt kümeleri çıkarmaktır.
Yani, (En az bir çift sayı içeren alt küme sayısı) = (Toplam alt küme sayısı) - (Hiç çift sayı içermeyen alt küme sayısı)
Hiç çift sayı içermeyen alt kümeler, sadece tek sayılardan oluşan alt kümelerdir. A kümesindeki tek sayılar kümesi ${1, 3, 5}$'tir.
Bu tek sayılar kümesinin eleman sayısı $3$'tür. Dolayısıyla, bu elemanlarla oluşturulabilecek alt küme sayısı $2^3 = 8$'dir.
Bu $8$ alt küme, A kümesinin içinde hiç çift sayı bulundurmayan alt kümelerdir (örneğin $\emptyset$, ${1}$, ${3}$, ${5}$, ${1,3}$, ${1,5}$, ${3,5}$, ${1,3,5}$).
Şimdi 3. adımda belirttiğimiz formülü kullanarak sonuca ulaşabiliriz:
En az bir çift sayı içeren alt küme sayısı = (Toplam alt küme sayısı) - (Hiç çift sayı içermeyen alt küme sayısı)
En az bir çift sayı içeren alt küme sayısı = $32 - 8 = 24$'tür.
Bu durumda, A kümesinin alt kümelerinin $24$ tanesinde en az bir çift sayı bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
