9. Sınıf Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama (Algoritma) Nasıl? Test 2

6 kişilik bir grupta herkes birbiriyle tokalaştığında toplam tokalaşma sayısı kaçtır?

A) 12
B) 15
C) 18
D) 21

Bu tür sorular, günlük hayatta karşılaşabileceğimiz durumları matematiksel olarak modellememizi sağlar. Bir gruptaki herkesin birbiriyle tokalaşması gibi durumlar, matematikte kombinasyon konusuyla çözülür. Şimdi adım adım bu soruyu nasıl çözeceğimizi görelim:

• 1. Adım: Problemi Anlayalım ve Temel Kavramı Belirleyelim

  Soru bizden 6 kişilik bir grupta herkesin birbiriyle tokalaşması durumunda toplam kaç tokalaşma olacağını bulmamızı istiyor.

  Bir tokalaşma için iki kişiye ihtiyaç vardır. Örneğin, Ayşe'nin Mehmet'le tokalaşması ile Mehmet'in Ayşe'yle tokalaşması aynı olaydır. Yani, tokalaşan kişilerin sırası önemli değildir. Bu durum bize, bu problemin bir kombinasyon problemi olduğunu gösterir.

• 2. Adım: Kombinasyon Formülünü Hatırlayalım

  $n$ farklı eleman arasından $k$ elemanı seçme sayısını veren kombinasyon formülü şöyledir: $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

  Burada $n$, toplam kişi sayısıdır (bizim durumumuzda 6). $k$, bir tokalaşma için gereken kişi sayısıdır (bizim durumumuzda 2). $!$ işareti ise faktöriyel anlamına gelir (örneğin, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$).

• 3. Adım: Formülü Uygulayalım

  Elimizde 6 kişi var ($n=6$) ve her tokalaşma için 2 kişi seçmeliyiz ($k=2$). Formülü yerine yazalım:

  $C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!}$

  $C(6, 2) = \frac{6!}{2!4!}$

• 4. Adım: Hesaplamayı Yapalım

  Şimdi faktöriyelleri açarak hesaplamayı yapalım:

  $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

  $2! = 2 \times 1 = 2$

  $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

  Bu değerleri formülde yerine koyalım:

  $C(6, 2) = \frac{720}{2 \times 24}$

  $C(6, 2) = \frac{720}{48}$

  $C(6, 2) = 15$

  Yani, 6 kişilik bir grupta herkes birbiriyle tokalaştığında toplam 15 tokalaşma olur.

• Alternatif Düşünme Yöntemi (Daha Basit Bir Yaklaşım)

  Bu tür soruları kombinasyon formülü kullanmadan da düşünebiliriz:

  İlk kişi, kendisi hariç diğer 5 kişiyle tokalaşır.

  İkinci kişi, ilk kişiyle zaten tokalaştığı için, kalan 4 kişiyle tokalaşır.

  Üçüncü kişi, ilk iki kişiyle zaten tokalaştığı için, kalan 3 kişiyle tokalaşır.

  Dördüncü kişi, ilk üç kişiyle zaten tokalaştığı için, kalan 2 kişiyle tokalaşır.

  Beşinci kişi, ilk dört kişiyle zaten tokalaştığı için, kalan 1 kişiyle tokalaşır.

  Altıncı kişi ise, zaten herkesle tokalaşmış olur.

  Toplam tokalaşma sayısı: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

  Gördüğünüz gibi, her iki yöntem de aynı sonuca ulaştırdı!

Cevap B seçeneğidir.