Bir davette x kişi vardır ve herkes birbiriyle tokalaşmıştır. Toplam tokalaşma sayısı 21 olduğuna göre x kaçtır?
A) 6Bu tür problemler, kombinasyon veya ardışık sayıların çarpımı prensibini kullanarak çözülebilir. Adım adım ilerleyelim:
Bir davette $x$ kişi var ve herkes birbiriyle tokalaşıyor. Bu, her tokalaşma için 2 kişi seçtiğimiz anlamına gelir. Bir kişi diğer bir kişiyle tokalaştığında, bu tek bir tokalaşma sayılır. Örneğin, Ali Veli ile tokalaşırsa, bu 1 tokalaşmadır ve Veli'nin Ali ile tekrar tokalaşmasına gerek kalmaz.
Bu durumu matematiksel olarak ifade etmek için kombinasyon formülünü kullanırız. $x$ kişi arasından 2 kişi seçme sayısı $\binom{x}{2}$ ile gösterilir.
Kombinasyon formülü şöyledir:
$\binom{x}{2} = \frac{x \times (x-1)}{2}$
Soruda verilen toplam tokalaşma sayısı 21 olduğuna göre, bu formülü 21'e eşitlemeliyiz.
$\frac{x \times (x-1)}{2} = 21$
Denklemi çözmek için önce her iki tarafı 2 ile çarpalım:
$x \times (x-1) = 21 \times 2$
$x \times (x-1) = 42$
Şimdi, ardışık iki sayının çarpımının 42 olduğu bir $x$ değeri arıyoruz. Bu tür durumlarda, ya şıklardan deneyebiliriz ya da denklemi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürüp çözebiliriz.
Yöntem 1: Deneme Yanılma (Şıklardan Gitme veya Tahmin Etme)
Hangi ardışık iki sayının çarpımı 42 yapar? $6 \times 7 = 42$.
Bu durumda, $x=7$ ve $x-1=6$ olur. Yani $x=7$ doğru cevaptır.
Yöntem 2: İkinci Dereceden Denklem Çözümü
$x^2 - x = 42$
$x^2 - x - 42 = 0$
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz:
$(x-7)(x+6) = 0$
Buradan iki olası çözüm çıkar: $x-7=0 \Rightarrow x=7$ veya $x+6=0 \Rightarrow x=-6$.
Kişi sayısı negatif olamayacağı için $x=7$ doğru cevaptır.
Eğer davette 7 kişi varsa, tokalaşma sayısı $\frac{7 \times (7-1)}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = \frac{42}{2} = 21$ olur. Bu da soruda verilen toplam tokalaşma sayısıyla eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
