10. Sınıf Bölünebilme Özelliklerini Kullanarak Kalan Bulma Test 2

Bir A doğal sayısının 9'a bölümünden kalan 4'tür. Buna göre A² + 3A + 2 ifadesinin 9'a bölümünden kalan kaçtır?

A) 0
B) 3
C) 6
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu tür sorular, matematiksel ifadelerin belirli bir sayıya bölümünden kalanları bulma üzerine kuruludur. Bu konuya "Modüler Aritmetik" diyoruz. Adım adım ilerleyerek bu soruyu birlikte çözelim.

• Adım 1: Verilen bilgiyi matematiksel olarak ifade edelim.

  Soruda, bir $A$ doğal sayısının 9'a bölümünden kalanın 4 olduğu belirtiliyor. Bunu modüler aritmetik dilinde şu şekilde yazabiliriz:

  $A \equiv 4 \pmod{9}$

  Bu ifade, $A$ sayısının 9 ile bölündüğünde 4 kalanını verdiğini gösterir. Yani $A$ yerine 9'a bölümünden kalanı olan 4'ü kullanabiliriz.

• Adım 2: İstenen ifadeyi modüler aritmetik kullanarak basitleştirelim.

  Bizden $A^2 + 3A + 2$ ifadesinin 9'a bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. $A \equiv 4 \pmod{9}$ bilgisini bu ifadede yerine yazalım:

  $A^2 + 3A + 2 \equiv (4)^2 + 3(4) + 2 \pmod{9}$

• Adım 3: İfadeyi adım adım hesaplayalım.

  Şimdi her bir terimi ayrı ayrı hesaplayıp 9'a bölümünden kalanlarını bulalım:

  • $4^2 = 16$
  • $16$'nın 9'a bölümünden kalan: $16 = 1 \times 9 + 7$, yani $16 \equiv 7 \pmod{9}$.
  • $3 \times 4 = 12$
  • $12$'nin 9'a bölümünden kalan: $12 = 1 \times 9 + 3$, yani $12 \equiv 3 \pmod{9}$.
  • $2$'nin 9'a bölümünden kalan zaten $2$'dir.
• Adım 4: Bulduğumuz kalanları toplayalım.

  Şimdi bu kalanları toplayarak ifadenin toplam kalanını bulalım:

  $A^2 + 3A + 2 \equiv 7 + 3 + 2 \pmod{9}$

  $A^2 + 3A + 2 \equiv 12 \pmod{9}$

• Adım 5: Son kalanı bulalım.

  $12$'nin 9'a bölümünden kalanı bulmamız gerekiyor:

  $12 = 1 \times 9 + 3$

  Yani $12 \equiv 3 \pmod{9}$.

  Bu durumda, $A^2 + 3A + 2$ ifadesinin 9'a bölümünden kalan 3'tür.

Cevap A seçeneğidir.