üçgende alan soruları ve çözümleri Test 2

ABC üçgeninde D noktası [BC] üzerindedir. |AB| = 15 cm, |AC| = 20 cm, |BD| = 6 cm ve |DC| = 8 cm'dir. Buna göre ABD ve ADC üçgenlerinin alanları oranı kaçtır?

A) 3/4
B) 2/3
C) 1/2
D) 4/5

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgenin içindeki iki küçük üçgenin alanları oranını bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• Adım 1: Üçgenleri Tanımlayalım ve Ortak Özelliği Bulalım
  • ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerindedir. Bu durum, AD doğru parçasının ABC üçgenini ABD ve ADC olmak üzere iki küçük üçgene ayırdığı anlamına gelir.
  • Bu iki üçgenin (ABD ve ADC) ortak bir tepe noktası vardır: A noktası.
  • Ayrıca, bu iki üçgenin tabanları (BD ve DC) aynı doğru üzerinde (BC doğrusu) yer almaktadır.
  • Bu önemli bir bilgidir! Çünkü A noktasından BC kenarına indirilen dikme (yükseklik), hem ABD üçgeni için hem de ADC üçgeni için ortak yüksekliktir. Bu yüksekliğe $h$ diyelim.
• Adım 2: Üçgenin Alan Formülünü Hatırlayalım
  • Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Matematiksel olarak: Alan $= \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$.
• Adım 3: ABD Üçgeninin Alanını Hesaplayalım
  • ABD üçgeni için tabanımız $|BD| = 6$ cm'dir.
  • Bu tabana ait yüksekliğimiz ise, Adım 1'de belirttiğimiz gibi, A noktasından BC doğrusuna indirilen ortak yükseklik $h$'dir.
  • O halde, Alan($\triangle ABD$) $= \frac{1}{2} \times |BD| \times h = \frac{1}{2} \times 6 \times h = 3h$.
• Adım 4: ADC Üçgeninin Alanını Hesaplayalım
  • ADC üçgeni için tabanımız $|DC| = 8$ cm'dir.
  • Bu tabana ait yüksekliğimiz de yine A noktasından BC doğrusuna indirilen ortak yükseklik $h$'dir.
  • O halde, Alan($\triangle ADC$) $= \frac{1}{2} \times |DC| \times h = \frac{1}{2} \times 8 \times h = 4h$.
• Adım 5: Alanların Oranını Bulalım
  • Bizden ABD ve ADC üçgenlerinin alanları oranı isteniyor. Bu oranı yazalım:
  • $\frac{\text{Alan}(\triangle ABD)}{\text{Alan}(\triangle ADC)} = \frac{3h}{4h}$
  • Gördüğünüz gibi, $h$ değerleri hem payda hem de paydada olduğu için birbirini götürecektir (sadeleşecektir).
  • Oran $= \frac{3}{4}$.
  • Bu tür sorularda, eğer iki üçgenin yükseklikleri aynı ise, alanları oranı doğrudan taban uzunlukları oranına eşittir. Yani, $\frac{\text{Alan}(\triangle ABD)}{\text{Alan}(\triangle ADC)} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Bu pratik bilgiyi aklınızda tutmak, benzer soruları daha hızlı çözmenizi sağlar. Verilen $|AB| = 15$ cm ve $|AC| = 20$ cm bilgileri bu soru için doğrudan alan oranını bulmakta kullanılmaz, bazen sorularda fazladan bilgi verilebilir.

Cevap A seçeneğidir.