\(P(x) = (a-2)x^4 + 3x^b - 5x + c\) ifadesinin bir polinom olabilmesi için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğru olmalıdır?
A) \(a = 2\)
B) \(b\) negatif tam sayı olmalı
C) \(b\) doğal sayı olmalı
D) \(c\) rasyonel sayı olmalı
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir ifadenin polinom olabilmesi için hangi şartları sağlaması gerektiğini adım adım inceleyelim.
- Öncelikle, bir polinomun tanımını hatırlayalım: Bir ifadeye polinom diyebilmemiz için, değişkenin (burada $x$) kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı olması ve katsayılarının gerçek sayı olması gerekir. Doğal sayılar kümesi $N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ olarak kabul edilir.
- Şimdi verilen $P(x) = (a-2)x^4 + 3x^b - 5x + c$ ifadesini terim terim inceleyelim:
- Birinci terim: $(a-2)x^4$
- Bu terimde $x$'in kuvveti $4$'tür. $4$ bir doğal sayı olduğu için bu kısım polinom olma şartını sağlar.
- Katsayı $(a-2)$'dir. $(a-2)$'nin bir gerçek sayı olması gerekir. $a$ herhangi bir gerçek sayı olabilir. Eğer $a=2$ olursa, terim $0 \cdot x^4 = 0$ olur ve bu da bir polinom için geçerli bir durumdur. Ancak $a$'nın kesinlikle $2$ olması gerekmez. Örneğin, $a=3$ olursa terim $x^4$ olur, bu da geçerlidir. Dolayısıyla A seçeneği kesinlikle doğru değildir.
- İkinci terim: $3x^b$
- Bu terimde $x$'in kuvveti $b$'dir. Polinom olma şartına göre, $b$'nin kesinlikle bir doğal sayı olması gerekir. Yani $b$ negatif bir tam sayı veya kesirli bir sayı olamaz. Eğer $b$ negatif bir tam sayı olsaydı (örneğin $b=-1$), $3x^{-1} = \frac{3}{x}$ olurdu ve bu bir polinom terimi olmazdı. Bu nedenle B seçeneği kesinlikle yanlıştır.
- $b$'nin doğal sayı olması (yani $b \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$) bu terimin polinom olabilmesi için zorunlu bir şarttır. Bu da C seçeneğini işaret etmektedir.
- Üçüncü terim: $-5x$
- Bu terimde $x$'in kuvveti $1$'dir. $1$ bir doğal sayı olduğu için bu kısım polinom olma şartını sağlar.
- Katsayı $-5$'tir. $-5$ bir gerçek sayı olduğu için bu kısım da geçerlidir.
- Dördüncü terim: $c$ (sabit terim)
- Bu terimi $cx^0$ olarak düşünebiliriz. $x$'in kuvveti $0$'dır ve $0$ bir doğal sayıdır. Bu kısım polinom olma şartını sağlar.
- Katsayı $c$'dir. $c$'nin bir gerçek sayı olması gerekir. Rasyonel sayılar gerçek sayıların bir alt kümesidir, ancak $c$ irrasyonel bir sayı da olabilir (örneğin $\sqrt{2}$ veya $\pi$). Dolayısıyla $c$'nin kesinlikle rasyonel sayı olması gerekmez. Bu nedenle D seçeneği kesinlikle doğru değildir.
- Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $P(x)$ ifadesinin bir polinom olabilmesi için $b$ kuvvetinin kesinlikle bir doğal sayı olması gerektiği ortaya çıkmaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
