Hangi seçenekteki ifade bir polinom belirtir?
A) \(\frac{2x^2 + 1}{x}\)
B) \(\sqrt{x} + 3x - 1\)
C) \(|x| + 2x^2\)
D) \(5x^3 - 2x^2 + x - 7\)
Bir ifadenin polinom olabilmesi için belirli şartları sağlaması gerekir. Bu şartları adım adım inceleyelim:
- Bir polinomda değişkenin (genellikle $x$) kuvvetleri (üsleri) doğal sayı olmalıdır. Yani $0, 1, 2, 3, ...$ gibi negatif olmayan tam sayılar olmalıdır.
- Değişken, paydada bulunmamalıdır. Örneğin, $\frac{1}{x}$ veya $\frac{2}{x^2}$ gibi ifadeler polinom değildir.
- Değişken, kök içinde bulunmamalıdır. Örneğin, $\sqrt{x}$ veya $\sqrt[3]{x^2}$ gibi ifadeler polinom değildir.
- Değişken, mutlak değer içinde bulunmamalıdır. Örneğin, $|x|$ veya $|x-1|$ gibi ifadeler polinom değildir.
- Değişken, trigonometrik fonksiyonların (sinüs, kosinüs vb.) içinde veya logaritma içinde bulunmamalıdır.
Şimdi seçenekleri bu kurallara göre tek tek inceleyelim:
- A) $\frac{2x^2 + 1}{x}$
- Bu ifadeyi $2x + \frac{1}{x}$ şeklinde yazabiliriz.
- Burada $\frac{1}{x}$ terimi, değişken $x$'i paydada içerir. Bu terim aynı zamanda $x^{-1}$ olarak da yazılabilir ve $x$'in kuvveti olan $-1$ bir doğal sayı değildir.
- Bu nedenle, A seçeneğindeki ifade bir polinom değildir.
- B) $\sqrt{x} + 3x - 1$
- Bu ifadede $\sqrt{x}$ terimi bulunmaktadır.
- $\sqrt{x}$ ifadesi, $x^{1/2}$ olarak yazılabilir. Burada $x$'in kuvveti olan $\frac{1}{2}$ bir doğal sayı değildir.
- Ayrıca, değişken $x$ kök içinde yer almaktadır.
- Bu nedenle, B seçeneğindeki ifade bir polinom değildir.
- C) $|x| + 2x^2$
- Bu ifadede $|x|$ terimi bulunmaktadır.
- Değişken $x$ mutlak değer içinde yer almaktadır.
- Bu nedenle, C seçeneğindeki ifade bir polinom değildir.
- D) $5x^3 - 2x^2 + x - 7$
- Bu ifadede terimler $5x^3$, $-2x^2$, $x$ (yani $1x^1$) ve $-7$ (yani $-7x^0$) şeklindedir.
- Değişken $x$'in kuvvetleri sırasıyla $3, 2, 1, 0$'dır. Bu kuvvetlerin hepsi birer doğal sayıdır.
- Değişken paydada, kök içinde veya mutlak değer içinde bulunmamaktadır.
- Katsayılar ($5, -2, 1, -7$) gerçek sayılardır.
- Tüm şartlar sağlandığı için, D seçeneğindeki ifade bir polinomdur.
Cevap D seçeneğidir.
