Bir ifadenin polinom olabilmesi için belirli şartları sağlaması gerekir. Bu şartları adım adım inceleyelim:
- Polinom Tanımı: Bir $P(x)$ ifadesinin polinom olabilmesi için, $x$ değişkeninin tüm kuvvetleri (üsleri) negatif olmayan tam sayılar olmalıdır. Yani $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi sayılar olmalıdır. Ayrıca, değişkenlerin katsayıları (önündeki sayılar) reel sayılar olabilir.
- Verilen İfadeyi İnceleyelim: Bize verilen ifade $R(x) = (k-3)x^{m} + nx^2 - 4x + 1$.
- Bu ifadede yer alan terimlere bakalım:
- $nx^2$: Burada $x$'in kuvveti $2$'dir. $2$ negatif olmayan bir tam sayıdır. Bu terim polinom tanımına uygundur. $n$ bir reel sayı olabilir.
- $-4x$: Burada $x$'in kuvveti $1$'dir. $1$ negatif olmayan bir tam sayıdır. Bu terim polinom tanımına uygundur.
- $+1$: Bu terim $1x^0$ olarak düşünülebilir. Burada $x$'in kuvveti $0$'dır. $0$ negatif olmayan bir tam sayıdır. Bu terim de polinom tanımına uygundur.
- $(k-3)x^{m}$: Bu terimdeki $x$'in kuvveti $m$'dir. Polinom tanımına göre $m$'nin negatif olmayan bir tam sayı olması kesinlikle gereklidir. Katsayı $(k-3)$ ise bir reel sayı olabilir.
- Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
- A) $m > 0$ olmalı: Bu ifade kesinlikle doğru değildir. Çünkü $m$, $0$ da olabilir ($x^0 = 1$). Eğer $m=0$ olursa, terim $(k-3)x^0 = k-3$ olur ki bu bir sabit terimdir ve polinomun bir parçası olabilir.
- B) $n \neq 0$ olmalı: Bu ifade kesinlikle doğru değildir. $n$ katsayısı $0$ olabilir. Eğer $n=0$ olursa, $nx^2 = 0 \cdot x^2 = 0$ olur. Bu durumda $x^2$ terimi polinomda yer almaz ama ifade yine de bir polinom olur.
- C) $m \in \mathbb{N}$ olmalı: Polinom tanımına göre $m$ negatif olmayan bir tam sayı olmalıdır ($0, 1, 2, 3, \dots$). Matematikte doğal sayılar kümesi ($\mathbb{N}$) bazen $0$'ı içermez ($1, 2, 3, \dots$), bazen de $0$'ı içerir ($0, 1, 2, 3, \dots$). Polinom kuvvetleri için $0$ dahil tüm negatif olmayan tam sayılar geçerli olduğundan, bu sorunun bağlamında $\mathbb{N}$ kümesinin $0$'ı da içeren doğal sayılar kümesi olarak kabul edildiği anlaşılmaktadır. Bu durumda $m$'nin doğal sayı olması kesinlikle doğrudur.
- D) $k = 3$ olmalı: Bu ifade kesinlikle doğru değildir. $k$ herhangi bir reel sayı olabilir. Eğer $k=3$ olursa, $(k-3)x^m = 0 \cdot x^m = 0$ olur ve bu terim yok olur. İfade yine bir polinom olur. Eğer $k \neq 3$ olursa, $(k-3)$ sıfırdan farklı bir katsayı olur ve ifade yine bir polinom olur (tabii $m$ negatif olmayan tam sayı olmak şartıyla).
Yukarıdaki değerlendirmelere göre, bir ifadenin polinom olabilmesi için $x$ değişkeninin kuvveti olan $m$'nin negatif olmayan bir tam sayı olması kesinlikle gereklidir. Seçenekler arasında bu durumu en iyi ifade eden ve sorunun bağlamında doğru kabul edilen seçenek C'dir.
Cevap C seçeneğidir.
