\(P(x) = x^a + 2x^b - 3x^c + 4\) ifadesinin bir polinom olabilmesi için a, b, c ile ilgili;
I. a, b, c negatif olmayan tam sayılar olmalı
II. a, b, c tam sayı olmalı
III. a, b, c rasyonel sayı olmalı
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin kuvvetlerinin hangi şartları sağlaması gerektiğini inceleyeceğiz. Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için temel tanımı çok iyi bilmemiz gerekiyor.
- Polinom Tanımı: Bir $P(x)$ ifadesinin polinom olabilmesi için, $x$'in kuvvetlerinin (yani üslerinin) negatif olmayan tam sayılar olması gerekir. Başka bir deyişle, üsler $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi sayılar olmalıdır. Katsayılar ise herhangi bir reel sayı olabilir.
- Verilen ifade $P(x) = x^a + 2x^b - 3x^c + 4$'tür. Burada $a, b, c$ sayıları $x$'in kuvvetleridir. Sabit terim olan $4$ ise $4x^0$ olarak düşünülebilir, yani $x$'in kuvveti $0$'dır. Polinom tanımına göre, $a, b, c$ değerlerinin negatif olmayan tam sayılar olması şarttır.
- Şimdi verilen ifadeleri tek tek değerlendirelim:
- I. a, b, c negatif olmayan tam sayılar olmalı:
- "Negatif olmayan" demek, sayıların $0$ veya pozitif olması demektir.
- "Tam sayılar" demek, sayıların $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$ kümesinden olması demektir.
- Bu iki şartı birleştirdiğimizde, $a, b, c$ sayılarının $0, 1, 2, 3, \dots$ kümesinden olması gerektiğini anlarız. Bu tanım, polinomun üsleri için gerekli olan şartla tamamen aynıdır. Örneğin, $x^2$, $x^0$ (yani $1$) birer polinom terimidir. Bu nedenle, I. ifade doğrudur.
- II. a, b, c tam sayı olmalı:
- Bu ifade, $a, b, c$ sayılarının $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$ kümesinden olabileceğini söyler.
- Ancak, polinom tanımına göre üsler negatif olamaz. Örneğin, eğer $a = -1$ olsaydı, $x^{-1} = \frac{1}{x}$ olurdu. $\frac{1}{x}$ bir polinom terimi değildir, çünkü $x$ paydada yer alır. Bu tür ifadeler rasyonel ifade olarak adlandırılır.
- Bu nedenle, II. ifade yanlıştır, çünkü negatif tam sayıları da içerir.
- III. a, b, c rasyonel sayı olmalı:
- Rasyonel sayılar, $\frac{p}{q}$ şeklinde yazılabilen sayılardır (burada $p$ ve $q$ tam sayı, $q \ne 0$). Bu küme, tam sayıları ve kesirli sayıları (örneğin $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$) içerir.
- Eğer bir üs kesirli bir sayı olsaydı, örneğin $a = \frac{1}{2}$ olsaydı, $x^{1/2} = \sqrt{x}$ olurdu. $\sqrt{x}$ bir polinom terimi değildir, çünkü değişken kök içinde yer alır. Polinomlar sadece tam sayı kuvvetlerini kabul eder.
- Bu nedenle, III. ifade yanlıştır.
- Yukarıdaki değerlendirmelere göre, sadece I. ifade doğrudur.
Cevap A seçeneğidir.
