İse bağlacının veya cinsinden yazılışı (p⇒q ≡ p'∨q) Test 2

Bir öğrenci "Eğer ders çalışırsam, sınavı geçerim" önermesini "Ders çalışmam veya sınavı geçerim" şeklinde ifade ediyor. Bu dönüşüm hangi mantıksal eşdeğerliğe dayanmaktadır?

A) p⇒q ≡ p∧q
B) p⇒q ≡ p'∧q
C) p⇒q ≡ p∨q'
D) p⇒q ≡ p'∨q

Öğrencinin yaptığı dönüşüm, mantıkta çok temel ve sıkça kullanılan bir eşdeğerliğe dayanmaktadır. Adım adım inceleyelim:

• 1. Önermeleri Tanımlama:

  Öncelikle, öğrencinin cümlelerindeki temel önermeleri (ifadeleri) belirleyelim ve onlara sembolik adlar verelim:

  • $p$: "Ders çalışırım"
  • $q$: "Sınavı geçerim"
• 2. Orijinal Önermeyi Sembolize Etme:

  Öğrencinin orijinal önermesi "Eğer ders çalışırsam, sınavı geçerim" şeklindedir. Bu, bir koşullu önermedir (implication).

  Sembolik olarak bu ifadeyi $p \Rightarrow q$ şeklinde yazabiliriz. (Eğer $p$ ise, o zaman $q$)

• 3. Dönüştürülmüş Önermeyi Sembolize Etme:

  Öğrencinin dönüştürdüğü önerme "Ders çalışmam veya sınavı geçerim" şeklindedir.

  • "Ders çalışmam" ifadesi, $p$ önermesinin olumsuzu (değili) demektir. Bunu $p'$ (veya $\neg p$) ile gösteririz.
  • "Veya" bağlacı, mantıkta $\lor$ sembolü ile gösterilir.
  • "Sınavı geçerim" ifadesi ise $q$ önermesidir.

  Dolayısıyla, dönüştürülmüş önerme sembolik olarak $p' \lor q$ şeklinde yazılır.

• 4. Mantıksal Eşdeğerliği Belirleme:

  Öğrenci, $p \Rightarrow q$ önermesini $p' \lor q$ şekline dönüştürmüştür. Bu dönüşüm, bu iki ifadenin mantıksal olarak eşdeğer olduğu anlamına gelir.

  Yani, hangi seçeneğin $p \Rightarrow q \equiv p' \lor q$ eşdeğerliğini temsil ettiğini bulmamız gerekiyor.

• 5. Seçenekleri İnceleme:

  Şimdi verilen seçeneklere bakalım:

  • A) $p \Rightarrow q \equiv p \land q$: Bu eşdeğerlik doğru değildir. Bir koşullu önerme ile bir "ve" (conjunction) önermesi eşdeğer değildir.
  • B) $p \Rightarrow q \equiv p' \land q$: Bu da doğru değildir. Yine bir "ve" önermesidir ve koşullu önermeye eşdeğer değildir.
  • C) $p \Rightarrow q \equiv p \lor q'$: Bu eşdeğerlik de doğru değildir. Bu ifade, "Ders çalışırım veya sınavı geçmem" anlamına gelir ki bu da orijinal önermeye eşdeğer değildir.
  • D) $p \Rightarrow q \equiv p' \lor q$: Bu eşdeğerlik doğrudur. Mantıkta bilinen temel bir eşdeğerliktir. Bir koşullu önerme ($p \Rightarrow q$), her zaman öncülün değili ile sonucun veya'sı ($p' \lor q$) ile eşdeğerdir.
• 6. Eşdeğerliğin Doğruluğunu Kontrol Etme (Doğruluk Tablosu ile):

  Bu eşdeğerliği bir doğruluk tablosuyla da gösterebiliriz:

  $p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$p'$	$p' \lor q$
  T	T	T	F	T
  T	F	F	F	F
  F	T	T	T	T
  F	F	T	T	T

  Görüldüğü gibi, "$p \Rightarrow q$" sütunu ile "$p' \lor q$" sütunu tamamen aynı doğruluk değerlerine sahiptir. Bu da onların mantıksal olarak eşdeğer olduğunu kanıtlar.

Cevap D seçeneğidir.