\( 0,1\overline{23} \) devirli ondalık sayısının rasyonel karşılığını bulmak için aşağıdaki yöntemlerden hangisi doğrudur?
A) Sayıyı 1000 ile çarpıp 10 ile çıkarmak
B) Sayıyı 100 ile çarpıp 1 ile çıkarmak
C) Sayıyı 10 ile çarpıp 100 ile çıkarmak
D) Sayıyı 100 ile çarpıp 10 ile çıkarmak
Devirli ondalık sayıları rasyonel sayılara çevirirken temel amacımız, sayının devreden kısmını ondalık kısmın dışına taşıyarak veya aynı hizaya getirerek çıkarma işlemiyle yok etmektir. Bu sayede sadece tam sayılarla işlem yapmış oluruz.
Verilen devirli ondalık sayımız $0,1\overline{23}$'tür.
- Adım 1: Sayıyı bir değişkene eşitleyelim.
- $x = 0,1\overline{23}$
- Bu ifadeyi açıkça yazarsak: $x = 0,1232323...$
- Adım 2: Ondalık kısmın devretmeyen bölümünü tam sayı kısmına taşıyalım.
- Devretmeyen kısım '1' rakamıdır ve virgülden sonra 1 basamak yer almaktadır. Bu basamağı tam sayı kısmına taşımak için sayıyı $10^1 = 10$ ile çarparız.
- $10x = 1,232323...$
- Yani, $10x = 1,\overline{23}$ (Bu bizim ilk denklemimiz olsun.)
- Adım 3: Ondalık kısmın hem devretmeyen hem de devreden bölümünü tam sayı kısmına taşıyalım.
- Devretmeyen kısım '1' (1 basamak) ve devreden kısım '23' (2 basamak) olmak üzere toplamda $1+2=3$ basamak vardır. Bu basamakları tam sayı kısmına taşımak için sayıyı $10^3 = 1000$ ile çarparız.
- $1000x = 123,232323...$
- Yani, $1000x = 123,\overline{23}$ (Bu bizim ikinci denklemimiz olsun.)
- Adım 4: Devreden kısımları yok etmek için çıkarma işlemi yapalım.
- İkinci denklemden ilk denklemi çıkarırsak, ondalık kısımdaki devreden '$\overline{23}$' kısmı birbirini götürecektir.
- $1000x - 10x = 123,\overline{23} - 1,\overline{23}$
- $990x = 122$
- Adım 5: $x$ değerini bulalım.
- $x = \frac{122}{990}$
- Bu kesir sadeleştirilebilir ($2$ ile): $x = \frac{61}{495}$
Yukarıdaki adımları incelediğimizde, rasyonel karşılığı bulmak için $x$ sayısını önce $1000$ ile çarptık ($1000x$) ve ardından $10$ ile çarptığımız ($10x$) değeri bu sonuçtan çıkardık.
Bu işlem, seçeneklerdeki "Sayıyı 1000 ile çarpıp 10 ile çıkarmak" ifadesiyle birebir örtüşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
