Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir $f(x) = ax^2 + bx + c$ parabolünün grafiği aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- Kolları aşağı yönlüdür.
- Tepe noktası koordinat düzleminin birinci bölgesindedir.
- $y$-eksenini pozitif bir noktada kesmektedir.
Buna göre, $a, b, c$ katsayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) $a < 0, b > 0, c > 0$
B) $a < 0, b < 0, c > 0$
C) $a > 0, b > 0, c < 0$
D) $a < 0, b > 0, c < 0$
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Parabolün genel denklemi $f(x) = ax^2 + bx + c$ şeklinde verilmiş ve bazı özellikleri belirtilmiş. Bu özelliklerden katsayıların işaretlerini bulmaya çalışacağız.
- Kolların Yönü: Parabolün kollarının aşağı yönlü olması, $a$ katsayısının negatif olduğu anlamına gelir. Yani, $a < 0$. Çünkü $x^2$'nin katsayısı olan $a$, parabolün yönünü belirler.
- $y$-eksenini Kestiği Nokta: Parabolün $y$-eksenini pozitif bir noktada kesmesi, $x = 0$ için $f(x)$'in pozitif olduğu anlamına gelir. $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$ olduğundan, $c > 0$ olmalıdır. Yani, $c$ katsayısı pozitiftir.
- Tepe Noktası: Tepe noktasının koordinat düzleminin birinci bölgesinde olması, hem $x$ koordinatının hem de $y$ koordinatının pozitif olduğu anlamına gelir. Tepe noktasının $x$ koordinatı $- rac{b}{2a}$'dır. Birinci bölgede olduğundan $- rac{b}{2a} > 0$ olmalıdır. Biz $a < 0$ olduğunu biliyoruz. Bu durumda, $- rac{b}{2a} > 0$ eşitsizliğinin sağlanabilmesi için $b < 0$ olmalıdır (çünkü negatif bir sayıyı negatif bir sayıya böldüğümüzde pozitif bir sonuç elde ederiz). Ancak, $- rac{b}{2a} > 0$ ise $ rac{b}{2a} < 0$ olur. $a<0$ olduğundan $b>0$ olmalıdır.
Özetle:
- $a < 0$ (Kollar aşağı yönlü)
- $c > 0$ ($y$-eksenini pozitif noktada kesiyor)
- Tepe noktasının $x$ koordinatı $- rac{b}{2a} > 0$ ve $a < 0$ olduğundan $b > 0$ olmalıdır.
Bu durumda, katsayıların işaretleri sırasıyla $a < 0, b > 0, c > 0$ olmalıdır.
Cevap A seçeneğidir.
