Bir şirketin günlük kar miktarı (bin TL cinsinden), üretilen ürün adedi $x$ (yüz adet cinsinden) olmak üzere $K(x) = -2x^2 + 20x - 30$ karesel fonksiyonu ile modellenmektedir. Şirket, karını maksimize etmek istemektedir.
Buna göre, şirketin elde edebileceği maksimum kar miktarı kaç bin TL'dir ve bu karı elde etmek için kaç yüz adet ürün üretmelidir?
Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım çözerek, bir şirketin karını nasıl maksimize edebileceğini ve bu maksimum kara ulaşmak için ne kadar ürün üretmesi gerektiğini bulacağız.
Öncelikle, kar fonksiyonumuzun bir karesel fonksiyon olduğunu hatırlayalım: $K(x) = -2x^2 + 20x - 30$. Bu fonksiyonun grafiği bir parabol belirtir ve $x^2$'nin katsayısı negatif olduğu için parabol aşağı doğru bakar. Bu da demektir ki, bu parabolün bir maksimum noktası vardır ve bu nokta bize maksimum karı verecektir.
Şimdi, maksimum karı bulmak için şu adımları izleyelim:
Bir parabolün tepe noktasının x koordinatı (apsisi) $x = \frac{-b}{2a}$ formülü ile bulunur. Burada $a = -2$ ve $b = 20$.
O halde, $x = \frac{-20}{2 \cdot (-2)} = \frac{-20}{-4} = 5$ olur.
Bu, şirketin karını maksimize etmek için 5 yüz adet (yani 500 adet) ürün üretmesi gerektiği anlamına gelir.
Şimdi de bulduğumuz $x = 5$ değerini kar fonksiyonunda yerine koyarak maksimum karı hesaplayalım:
$K(5) = -2(5)^2 + 20(5) - 30 = -2(25) + 100 - 30 = -50 + 100 - 30 = 20$.
Bu, şirketin elde edebileceği maksimum karın 20 bin TL olduğu anlamına gelir.
Şirket, karını maksimize etmek için 5 yüz adet ürün üretmeli ve bu durumda elde edeceği maksimum kar 20 bin TL olacaktır.
Cevap A seçeneğidir.
