10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 1

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir $f(x) = ax^2 + bx + c$ karesel fonksiyonunun grafiği, $x$-eksenini hiçbir noktada kesmemektedir. Ayrıca, $f(x)$ fonksiyonunun alabileceği en küçük değer pozitiftir.
Buna göre, bu fonksiyonun katsayıları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) $a < 0$ ve diskriminant $\Delta < 0$
B) $a > 0$ ve diskriminant $\Delta > 0$
C) $a > 0$ ve diskriminant $\Delta < 0$
D) $a < 0$ ve diskriminant $\Delta = 0$

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

• Adım 1: $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin $x$-eksenini kesmemesi ne anlama gelir?

Bu, $f(x) = 0$ denkleminin reel kökünün olmadığı anlamına gelir. Karesel bir fonksiyonun $x$-eksenini kesmemesi için diskriminantının (Δ) sıfırdan küçük olması gerekir. Yani, $\Delta < 0$ olmalıdır.

• Adım 2: $f(x)$ fonksiyonunun alabileceği en küçük değerin pozitif olması ne anlama gelir?

Karesel bir fonksiyonun alabileceği en küçük değer, tepe noktasının $y$ koordinatıdır. Bu değerin pozitif olması, parabolün yukarı doğru baktığı (yani $a > 0$ olduğu) ve tepe noktasının $x$-ekseninin üzerinde olduğu anlamına gelir.

• Adım 3: Sonuçları birleştirelim.

Grafik $x$-eksenini kesmediği için $\Delta < 0$ olmalı. En küçük değer pozitif olduğu için $a > 0$ olmalı. Bu durumda, $a > 0$ ve $\Delta < 0$ şartlarını sağlayan seçenek doğrudur.

Cevap C seçeneğidir.