Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f(x) = x^2 - 6x + 5$ karesel fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun grafiği, $x$-ekseni boyunca 2 birim sola ve $y$-ekseni boyunca 5 birim yukarı ötelenerek yeni bir $g(x)$ fonksiyonu elde ediliyor.
Buna göre, $g(x)$ fonksiyonunun tepe noktasının koordinatları ve $y$-eksenini kestiği noktanın ordinatı aşağıdakilerden hangisidir?
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Karesel fonksiyonların ötelenmesiyle ilgili bu tür sorular, fonksiyonların dönüşümlerini anlamak için harika bir fırsat sunar.
$f(x) = x^2 - 6x + 5$ fonksiyonunu tam kareye tamamlayarak tepe noktasını bulabiliriz. Tam kareye tamamlama, fonksiyonu $f(x) = (x - h)^2 + k$ formuna getirmek demektir, burada $(h, k)$ tepe noktasının koordinatlarıdır.
$f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$. Dolayısıyla, $f(x)$'in tepe noktası $(3, -4)$'tür.
$f(x)$ fonksiyonu $x$-ekseni boyunca 2 birim sola ötelenirse, $x$ yerine $(x + 2)$ yazılır. Yani, $f(x + 2) = (x + 2 - 3)^2 - 4 = (x - 1)^2 - 4$ olur.
Daha sonra, $y$-ekseni boyunca 5 birim yukarı ötelenirse, fonksiyona 5 eklenir. Yani, $g(x) = (x - 1)^2 - 4 + 5 = (x - 1)^2 + 1$ olur.
$g(x) = (x - 1)^2 + 1$ fonksiyonunun tepe noktası $(1, 1)$'dir. Çünkü bu formdaki bir fonksiyonun tepe noktası $(h, k)$ ise, $g(x) = (x - h)^2 + k$ şeklinde yazılır.
$y$-eksenini kestiği noktayı bulmak için $x = 0$ değerini $g(x)$ fonksiyonunda yerine koyarız: $g(0) = (0 - 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Dolayısıyla, $y$-keseni 2'dir.
Sonuç olarak, $g(x)$ fonksiyonunun tepe noktası $(1, 1)$ ve $y$-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2'dir.
Cevap C seçeneğidir.
