Soru:
Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı bir ABC sayısı için, \( A + B + C = 15 \) ve \( AB - BA = 36 \) olduğu biliniyor. Buna göre, bu sayının rakamlarının çarpımı \( A \times B \times C \) kaçtır?
Çözüm:
💡 İki bilinmeyenli denklem kuralım. \( AB \) iki basamaklı sayısı \( 10A + B \), \( BA \) ise \( 10B + A \) şeklinde çözümlenir.
- ➡️ \( AB - BA = 36 \) ifadesini yazalım: \( (10A + B) - (10B + A) = 36 \)
- ➡️ Bu denklemi sadeleştirelim: \( 10A + B - 10B - A = 9A - 9B = 36 \) → \( 9(A - B) = 36 \) → \( A - B = 4 \).
- ➡️ Ayrıca \( A + B + C = 15 \) denklemi de verilmiş. \( A - B = 4 \) ve \( A + B + C = 15 \) denklemlerini kullanabiliriz. İlk iki denklemden \( A \) ve \( B \)'yi bulmaya çalışalım.
- ➡️ \( A - B = 4 \) ve \( A + B = 15 - C \) (çünkü \( A + B + C = 15 \)). Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak: \( 2A = 19 - C \) → \( A = \frac{19 - C}{2} \).
- ➡️ \( A \) bir rakam olduğundan (1-9), \( \frac{19 - C}{2} \) ifadesi bir tam sayı ve rakam olmalı. \( C \)'ye değer vererek deneyelim. \( C = 3 \) için \( A = 8 \) olur. O zaman \( A - B = 4 \) → \( 8 - B = 4 \) → \( B = 4 \). Rakamlar farklı: A=8, B=4, C=3. Koşulu sağlar.
- ➡️ \( A \times B \times C = 8 \times 4 \times 3 = 96 \).
✅ Sonuç: 96'dır.
