Soru:
Üç basamaklı \( 4AB \) sayısı, iki basamaklı \( BA \) sayısının 13 katına eşittir. Buna göre, \( A + B \) toplamı kaçtır?
Çözüm:
💡 Sayıları basamak değerlerine göre yazalım.
- ➡️ \( 4AB = 400 + 10A + B \)
- ➡️ \( BA = 10B + A \)
- ➡️ Soruya göre: \( 400 + 10A + B = 13 \times (10B + A) \)
- ➡️ Denklemi açalım: \( 400 + 10A + B = 130B + 13A \)
- ➡️ Bilinmeyenleri bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplayalım: \( 400 = 130B + 13A - 10A - B \)
- ➡️ \( 400 = 129B + 3A \)
- ➡️ Bu denklemi sağlayan \( A \) ve \( B \) rakamlarını (0-9 arası) bulmalıyız. \( B \)'ye değer vererek deneyelim.
- ➡️ \( B = 3 \) için: \( 400 = 129 \times 3 + 3A \) → \( 400 = 387 + 3A \) → \( 3A = 13 \) → \( A \) tam sayı çıkmaz.
- ➡️ \( B = 2 \) için: \( 400 = 129 \times 2 + 3A \) → \( 400 = 258 + 3A \) → \( 3A = 142 \) → \( A \) tam sayı çıkmaz.
- ➡️ \( B = 4 \) için: \( 400 = 129 \times 4 + 3A \) → \( 400 = 516 + 3A \) → \( 3A = -116 \) → Olmaz.
- ➡️ Doğru yaklaşım: Denklemi düzenleyip \( 3A = 400 - 129B \) şeklinde yazalım. \( A \) bir rakam (0-9) olduğundan, \( 400 - 129B \) ifadesi 3'e bölünmeli ve 0 ile 27 arasında bir değer almalı. \( B=3 \) için \( 400-387=13 \) (3'e bölünmez). \( B=2 \) için \( 400-258=142 \) (büyük). Farklı bir değer deneyelim. \( B=1 \) için: \( 3A = 400 - 129 = 271 \) → \( A \approx 90.3 \) (olmaz). Demek ki denklemde bir hata yapmadık mı? Kontrol edelim: \( 400 + 10A + B = 130B + 13A \) → \( 400 = 130B - B + 13A - 10A \) → \( 400 = 129B + 3A \). Evet doğru. O halde \( 3A = 400 - 129B \). \( B=8 \) için: \( 3A = 400 - 1032 = -632 \) (olmaz). Biraz daha mantıklı değerler: \( 129B < 400 \) olmalı, yani \( B \leq 3 \). \( B=3 \) zaten denedik. \( B=0 \) için: \( 3A=400 \) → \( A \) tam sayı değil. Demek ki başka bir çözüm yolu denemeliyiz. Belki de \( 4AB \) sayısı \( 400+10A+B \) değil, \( A \) ve \( B \) rakam, 4 yüzler basamağı sabit. O halde denklem doğru. Yeniden deneyelim: \( 129B + 3A = 400 \). \( B=2 \) için \( 129*2=258, 400-258=142, 142/3 \) tam sayı değil. \( B=1 \) için \( 129*1=129, 400-129=271, 271/3 \) tam sayı değil. B=3 için: \( 129*3=387, 400-387=13, 13/3 \) tam sayı değil. O halde? Bir anlık düşünelim: Belki de \( 4AB \) ifadesi \( 4 \times A \times B \) değil, 4 yüzler basamağı, A onlar, B birler. Evet öyle. O zaman denklem doğru. Demek ki A ve B rakam değil, belki? Hayır, rakam. O halde denklemin çözümü yok mu? Soru hatalı olabilir mi? KPSS'de böyle bir soru genelde çözülebilir. Kontrol: \( 13 \times (10B+A) = 400+10A+B \) → \( 130B+13A = 400+10A+B \) → \( 129B + 3A = 400 \). \( 129B \leq 129*9=1161\), ama 400'ü geçmemeli. \( B=4 \) için \( 129*4=516>400\) zaten. \( B \leq 3 \). \( B=3,2,1,0 \) denedik, hiçbiri A'ya tamsayı rakam vermedi. Yanlışlık nerede? Belki de \( 4AB \) sayısı \( 400+10A+B \) değil de, 4, A, B rakamlarıyla yazılan üç basamaklı sayı. Aynı şey. Alternatif çözüm: \( 13*(10B+A) = 400+10A+B \) → \( 130B+13A -10A -B =400 \) → \( 129B+3A=400\). \( 3(43B+A)=400\) → \( 43B+A=400/3\) tam sayı değil. Demek ki soruda bir yanlışlık var veya A ve B rakam değil. Ancak tipik bir çözüm için B=8 ve A=6 için deneyelim: \( 129*8=1032, 1032+3*6=1032+18=1050\) olur, 400 değil. Doğrusu şu olabilir mi: \( 4AB = 13 * BA \) değil de \( 13 * (B+A) \) falan? Hayır, öyle değil. Belki de sayı \( AB4 \) şeklinde? Öyle değil. O halde klasik bir örnek verelim: Bu sorunun çözülebilir versiyonu: \( 129B+3A=400 \) değil de, \( 129B+3A=39 \) gibi bir şey olsaydı. Veya \( 400+10A+B = 13*(10A+B) \) olsaydı? Deneyelim: \( 400+10A+B=130A+13B \) → \( 400=120A+12B \) → \( 100=30A+3B \) → \( 3B=100-30A \). A=3 için 3B=10 -> B tam sayı değil. A=2 için 3B=40 -> B tam sayı değil. A=1 için 3B=70 -> B tam sayı değil. Sonuç: Bu örnekte bir hata var. Örnek değiştiriyorum: "Üç basamaklı \( 3AB \) sayısı, iki basamaklı \( BA \) sayısının 17 katıdır. A+B?" O zaman: \( 300+10A+B = 17*(10B+A) \) → \( 300+10A+B=170B+17A \) → \( 300=169B+7A \). B=2 için: 338+7A=300 -> olmaz. B=1 için: 169+7A=300 -> 7A=131 -> A tam sayı değil. Yine olmadı. Basit ve çözülebilir bir örnek: "Üç basamaklı \( 2AB \) sayısı, iki basamaklı \( AB \) sayısının 9 katıdır. A+B?" \( 200+10A+B = 9*(10A+B) \) → \( 200+10A+B=90A+9B \) → \( 200=80A+8B \) → 25=10A+B. Buradan \( 10A+B=25 \), yani \( AB=25 \), A=2, B=5, A+B=7. İşte bu oldu! Soruyu buna çeviriyorum.
✅ Düzeltilmiş Soru ve Çözüm: Üç basamaklı \( 2AB \) sayısı, iki basamaklı \( AB \) sayısının 9 katıdır. A+B?
Çözüm: \( 200+10A+B = 9*(10A+B) \) → \( 200=80A+8B \) → 25=10A+B → \( AB=25 \), A=2, B=5, A+B=7.
