Soru:
Üç basamaklı \( 4AB \) sayısı, iki basamaklı \( 4A \) sayısının 13 katına eşittir. Buna göre, iki basamaklı \( AB \) sayısı kaçtır?
Çözüm:
💡 Verilen bilgiyi matematiksel bir denklem haline getirelim.
- ➡️ \( 4AB = 100*4 + 10*A + B = 400 + 10A + B \)
- ➡️ \( 4A = 40 + A \)
- ➡️ Soruda verilen: \( 4AB = 13 * (4A) \)
- ➡️ Denklemi kuralım: \( 400 + 10A + B = 13 * (40 + A) \)
- ➡️ Sağ tarafı açalım: \( 400 + 10A + B = 520 + 13A \)
- ➡️ Bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım: \( 400 + 10A + B - 520 - 13A = 0 \) → \( -120 - 3A + B = 0 \)
- ➡️ Buradan: \( B - 3A = 120 \) ❌ Bu sonuç mümkün değil çünkü \( B \) bir rakamdır (0-9 arası). İşlemi kontrol edelim. Denklem: \( 400 + 10A + B = 520 + 13A \) → \( 400 + 10A + B - 520 - 13A = 0 \) → \( -120 - 3A + B = 0 \) → \( B = 3A + 120 \). Burada bir hata yok ama \( B \)'nin rakam olma koşulunu sağlamıyor. Demek ki denklemi yanlış kurdum. Tekrar bakalım.
- ➡️ Yeniden Başlayalım: \( 4AB = 13 * (4A) \)
\( 400 + 10A + B = 13 * (40 + A) \)
\( 400 + 10A + B = 520 + 13A \)
\( 400 + 10A + B - 520 - 13A = 0 \)
\( -120 - 3A + B = 0 \)
\( B = 3A + 120 \)
Bu denklemde \( A \) ve \( B \) rakam olduğu için \( 3A+120 \) ifadesi en küçük 120, en büyük 147 olur. \( B \) bir rakam olamayacağına göre, soruyu yanlış anlamış olabiliriz. "13 katına eşittir" ifadesi "13 fazlasına" olabilir mi? Hayır, soru net. O halde bir önceki adımda işlem hatası yapmış olabiliriz. Kontrol edelim: \( 13 * (40 + A) = 520 + 13A \). Evet, doğru. \( 400 + 10A + B = 520 + 13A \) → \( 10A + B - 13A = 520 - 400 \) → \( -3A + B = 120 \) → \( B = 3A + 120 \). Bu mümkün değil. Demek ki soruda "13 katı" değil de "13 fazlası" olmalıydı? Ama soru böyle verilmiş. Belki de \( 4A \) ifadesi \( 4*A \) (yani 4 çarpı A) olarak alınmalı? Bu daha mantıklı. Deneyelim.
- ➡️ Alternatif Yorum: \( 4A \) ifadesi, 4 ile A'nın çarpımı (\( 4 \times A \)) olarak alınırsa:
\( 4AB = 13 \times (4 \times A) \)
\( 400 + 10A + B = 13 \times (4A) \)
\( 400 + 10A + B = 52A \)
\( 400 + B = 52A - 10A \)
\( 400 + B = 42A \)
\( 42A = 400 + B \)
\( A \) ve \( B \) birer rakam. \( 400 + B \), 400 ile 409 arasındadır. \( 42A \) ifadesi 42'nin katı olmalı. 42*9=378, 42*10=420. 400 ile 409 arasında 42'nin katı yok. Bu da olmadı.
- ➡️ Doğru Çözüm için Farklı Bir Bakış: Belki de \( 4A \), 40 + A değil, (40 + A) sayısıdır ve denklem doğru kurulmuştur ama \( B = 3A + 120 \) sonucu çıkmıştır. Bu durumda \( A \) ve \( B \) rakam olamayacağı için soru hatalı görünüyor. Ancak KPSS tarzı sorularda genellikle \( AB \) iki basamaklı sayısı istenir. Belki \( 4AB \) ve \( 4A \) ifadeleri yanlış yorumlanıyor. Doğru yorum: \( 4AB \) = 400 + \( AB \). \( 4A \) = 40 + A. Denklem: 400 + \( AB \) = 13*(40 + A). \( AB \) = 10A + B olduğundan: 400 + 10A + B = 520 + 13A → B = 120 + 3A. Bu da olmuyor. O halde son bir ihtimal: \( 4A \), (4A) yani 4 ile A'nın çarpımı değil, iki basamaklı sayı olarak düşünülmeli ve denklem: \( 4AB = 13*(4A) \) şeklinde. Yani: \( 400 + 10A + B = 13*(40 + A) \) denklemi doğru. Bu denklemden \( B = 3A + 120 \) çıkıyor. \( B \le 9 \) olması için \( 3A+120 \le 9 \) → \( 3A \le -111 \) → \( A \le -37 \), bu imkansız. Demek ki soruda bir baskı hatası var veya "13 katı" ifadesi "13 eksiği" olmalı. "13 eksiği" olsaydı: \( 4AB = (4A) - 13 \) → \( 400+10A+B = (40+A) - 13 \) → \( 400+10A+B = 27 + A \) → \( 9A + B = -373 \) yine olmaz. "13 fazlası" olsaydı: \( 4AB = (4A) + 13 \) → \( 400+10A+B = 40+A+13 \) → \( 400+10A+B = 53 + A \) → \( 9A + B = -347 \) yine olmaz.
- ➡️ Mantıklı Bir Düzeltme ile Devam Edelim: Sorunun doğru formülasyonu genellikle şöyledir: "Üç basamaklı 4AB sayısı, iki basamaklı 4A sayısının 11 katına eşittir." gibi. 11 katı deneyelim: \( 400+10A+B = 11*(40+A) \) → \( 400+10A+B = 440 + 11A \) → \( B = 40 + A \). Bu da olmaz. 12 katı deneyelim: \( 400+10A+B = 12*(40+A)=480+12A \) → \( B = 80 + 2A \). Olmaz. 10 katı deneyelim: \( 400+10A+B = 10*(40+A)=400+10A \) → \( B=0 \). Bu oldu! \( B=0 \) ve \( A \) herhangi bir rakam olabilir. Ama soruda \( AB \) iki basamaklı bir sayı ise \( A \) 0 olamaz. Yani \( A \) 1,2,...,9 olabilir. \( AB \) sayısı A0 olur. Fakat soruda "AB sayısı kaçtır?" diyor ve tek bir sonuç istiyor. O halde farklı bir kat sayısı daha mantıklı. 9 katı deneyelim: \( 400+10A+B = 9*(40+A)=360+9A \) → \( 40 + A + B = 0 \) → \( A+B=-40 \) olmaz.
- ➡️ Sonuç: Verilenlerle mantıklı bir sonuç çıkmıyor. Ancak, benzer sorular genellikle \( 4AB = 9 * (4A) \) şeklindedir ve çözümü şöyledir: \( 400+10A+B = 360+9A \) → \( 40 + A + B = 0 \) → \( A+B = -40 \) çıkar, bu da imkansız. En yaygın ve doğru sonuç veren katsayı 10'dur. 10 katı için \( B=0 \) bulunur. \( AB \) iki basamaklı sayısı ise \( 10A + B = 10A \)'dır. Bu durumda \( A \)'ya bağlı olarak 10,20,...,90 gibi 9 farklı değer alır. Soru "AB sayısı kaçtır?" diyorsa tek bir sonuç bekler, bu da olamaz.
- ➡️ Örnek Bir Çözüm Sunmak İçin: Soruyu, "Üç basamaklı 4AB sayısı, iki basamaklı 4A sayısının 10 katından 36 fazladır" şeklinde değiştirip çözelim. O zaman: \( 4AB = 10*(4A) + 36 \) → \( 400+10A+B = 10*(40+A) + 36 = 400+10A+36 \) → \( B=36 \) çıkar, bu da olamaz.
- ➡️ Netice: Bu soru tipik bir "Sayı Basamakları" sorusudur. Verilen örnekteki denklem hatalı görünmektedir. Öğrenciden istenen, denklemi kurmak ve \( A \) ve \( B \) rakamlarını bulmaktır. Sağlıklı bir örnek için katsayı 10 alınırsa \( B=0 \) ve \( A \) herhangi bir rakam olur, bu da sorunun "AB sayısı" sorusu için uygun değildir. Katsayı 9.5 gibi bir sayı da olamayacağına göre, sorunun orijinal halinde bir yanlışlık olduğu sonucuna varılır.
✅ Bu sorunun çözümü için verilenler yetersiz veya hatalıdır. Ancak, benzer bir sorunun çözüm mantığı adım adım gösterilmiştir.
