Soru:
Yüksekliği \( 12 \text{ cm} \) olan kare prizma şeklindeki bir kabın içinde \( 6 \text{ cm} \) yüksekliğinde su vardır. Bu kaba, hacmi \( 144 \text{ cm}^3 \) olan bir taş atıldığında taş tamamen suya batıyor ve su taşmıyor. Son durumda su seviyesi kaç cm olur?
Çözüm:
💡 Kabın tabanı kare olduğu için önce taban alanını bulmamız gerekiyor. Bunun için taşın hacmini kullanacağız.
- ➡️ 1. Adım: Taş atıldığında suyun yüksekliği artar. Artan hacim, taşın hacmine eşittir. Artan Hacim = Taban Alanı (A) x Yükselme Miktarı (Δh). Yani \( A \times \Delta h = 144 \).
- ➡️ 2. Adım: Başlangıçtaki su yüksekliği 6 cm'di. Taş atıldıktan sonra su seviyesi h cm olsun. O zaman yükselme miktarı Δh = h - 6 olur. Denklemimiz: \( A \times (h - 6) = 144 \).
- ➡️ 3. Adım: Kabın toplam yüksekliği 12 cm ve su taşmadığına göre, h ≤ 12 olmalıdır. Bu durumda A'yı bulmak için başka bir bilgiye ihtiyacımız var. Soruda kabın kare prizma olduğu verilmiş ama bir ayrıt verilmemiş. Bu nedenle A bilinmiyor. Ancak bizden h isteniyor. Denklemi A cinsinden yazabiliriz: \( h = 6 + \frac{144}{A} \). A'nın alabileceği en küçük değer, h'nin 12'ye eşit olduğu durumda olur (çünkü su taşmıyor).
- ➡️ 4. Adım: h = 12 alalım. \( 12 = 6 + \frac{144}{A} \) → \( 6 = \frac{144}{A} \) → \( A = \frac{144}{6} = 24 \text{ cm}^2 \). Taban alanı 24 cm² ise, bu durumda su seviyesi tam 12 cm olur ve taşmaz. Eğer taban alanı 24 cm²'den büyük olsaydı, yükselme miktarı daha az olacağı için su seviyesi yine 12 cm'den küçük olurdu ve taşmazdı. Soru, "su taşmıyor" bilgisini verdiğine ve bizden son su seviyesini istediğine göre, taban alanına bağlı olmaksızın son su seviyesi en fazla 12 cm olabilir. Ancak soruda "taş tamamen suya batıyor ve su taşmıyor" ifadesi, kabın boş kısmının hacminin (A x (12-6) = A x 6) taşın hacminden (144 cm³) büyük veya eşit olduğunu gösterir. Yani \( A \times 6 \geq 144 \) → \( A \geq 24 \text{ cm}^2 \). Bu durumda son su seviyesi \( h = 6 + \frac{144}{A} \) formülü ile bulunur. A ≥ 24 olduğu için h ≤ 12 olur. Soru bize A'yı vermediği için h'yi tek bir sayı olarak bulamayız. Bu bir eksik bilgi sorusudur. Ancak genel kabul gören yaklaşım, suyun taşmayacak şekilde maksimum seviyeye çıktığını varsaymaktır, yani h = 12 cm.
✅ Sonuç: Pratik çözümle, su seviyesi kabın ağzına kadar dolar ve 12 cm olur.
