Soru:
İçinde bir miktar su bulunan dik silindir şeklindeki bir kabın yarıçapı 5 cm'dir. Bu kaba, hacmi \( 200\pi \, \text{cm}^3 \) olan bir bilye atıldığında su seviyesi 2 cm yükseliyor. Buna göre, başlangıçta kapta bulunan suyun yüksekliği kaç cm'dir? (Bilye tamamen batmaktadır.)
Çözüm:
💡 Su seviyesindeki artış, bilyenin hacmine eşit bir hacimde suyun yer değiştirmesi demektir. Önce başlangıç su hacmini bulup, sonra yüksekliğe çevireceğiz.
- ➡️ 1. Adım: Su seviyesinin yükselmesiyle oluşan su hacmini (yani bilyenin hacmini) ve taban alanını kullanarak bir denklem kuralım.
Yükselen Su Hacmi = Taban Alanı × Yükselme Miktarı
\( 200\pi = (\pi \times 5^2) \times 2 \)
Bu denklem kontrol amaçlıdır. Sol taraf \(200\pi\), sağ taraf \( \pi \times 25 \times 2 = 50\pi \) eder. Görüldüğü gibi eşit değil! Bu, başlangıçta suyun bilyeyi tamamen örttüğü ve yükselen hacmin sadece bilyenin hacmi olduğu anlamına gelir. Soru bize zaten bilyenin hacmini ve yükselme miktarını vererek başlangıç su yüksekliğini soruyor. Bu bilgiler doğrudan başlangıç yüksekliğini bulmak için yeterli değildir. Ancak sorunun klasik çözüm mantığı şudur: Yükselen suyun hacmi, batan cismin hacmine eşittir. Buradan taban alanı bulunabilir ve soruya uyarlanabilir. Fakat bu soruda taban alanı ve yükselme miktarı verilmiş, bizden başlangıç yüksekliği istenmiştir. Bu bilgilerle başlangıç yüksekliği bulunamaz. Soruyu düzelterek çözelim: "Başlangıçtaki su yüksekliği yerine, bilye atıldıktan sonraki su yüksekliği kaç cm olur?" sorusunu çözelim.
- ➡️ Düzeltilmiş 1. Adım: Bilyenin hacmi, suyun yükselmesine neden olan hacimdir.
Yükselen Hacim = Taban Alanı × Yükselme Miktarı
\( V_{bilye} = \pi r^2 \times \Delta h \)
\( 200\pi = \pi \times (5)^2 \times 2 \)
Bu denklem sağlanmıyor (\(200\pi = 50\pi\)). O halde, yükselme miktarını (\( \Delta h \)) hesaplayalım.
\( \Delta h = \frac{V_{bilye}}{\pi r^2} = \frac{200\pi}{\pi \times 25} = \frac{200}{25} = 8 \, \text{cm} \)
- ➡️ Düzeltilmiş 2. Adım: Soruyu "Su seviyesi kaç cm yükselir?" şeklinde yorumlayıp cevabı verelim.
Yukarıda hesapladığımız gibi, su seviyesi 8 cm yükselir.
✅ Sonuç: Verilenlere göre su seviyesindaki yükselme miktarı 8 cm'dir. Orijinal soruda başlangıç yüksekliği için ek bilgi gerekirdi.
