Negatif Sayıların Karekökü Neden Yoktur?

Bir öğrenci, \( \sqrt{-9} \) ifadesinin değerini bulmaya çalışıyor. Bu ifadenin reel sayılar kümesinde neden bir karşılığı olmadığını adım adım açıklayın.

💡 Karekök fonksiyonu, bir sayının karesi alındığında verilen sayıyı elde ettiğimiz pozitif temel değeri ifade eder. Negatif bir sayının karekökünü bulmaya çalıştığımızda ise şu adımları izleriz:

• ➡️ Öncelikle, \( \sqrt{-9} \) ifadesini anlamaya çalışalım. Bu, karesi -9'a eşit olan sayıyı arıyoruz demektir. Yani, \( x^2 = -9 \) denklemini çözüyoruz.
• ➡️ Reel sayılar kümesinde, herhangi bir sayının karesi daima sıfır veya pozitiftir. \( 3^2 = 9 \) ve \( (-3)^2 = 9 \) olduğunu biliyoruz.
• ➡️ Hiçbir reel sayının karesi negatif olamaz. Bu nedenle, \( x^2 = -9 \) denkleminin reel sayılar kümesinde bir çözümü yoktur.

✅ Sonuç olarak, \( \sqrt{-9} \) ifadesi reel sayılar kümesinde tanımsızdır. Bu tür ifadelerle çalışmak için karmaşık sayılar kümesine (\( \mathbb{C} \)) ihtiyaç duyarız ve bu durumda cevap \( 3i \) olur.