Soru:
\( x^2 + 16 = 0 \) denklemini reel sayılar kümesinde çözmek mümkün müdür? Nedenini adımlarla gösterin.
Çözüm:
💡 Bu denklemin çözümünün olup olmadığını anlamak için denklemi düzenleyip karekök almamız gerekir.
- ➡️ Denklemi düzenleyelim: \( x^2 + 16 = 0 \) → \( x^2 = -16 \).
- ➡️ Şimdi, karesi -16'ya eşit olan bir reel sayı arayacağız. Yani \( \sqrt{-16} \) ifadesinin değerini bulmaya çalışıyoruz.
- ➡️ Reel sayılar kümesinde, bir sayının karesi asla negatif olamaz. Pozitif bir sayının karesi pozitif, negatif bir sayının karesi yine pozitif, sıfırın karesi ise sıfırdır.
- ➡️ Dolayısıyla, hiçbir reel sayı için \( x^2 = -16 \) eşitliği sağlanamaz.
✅ Sonuç: \( x^2 + 16 = 0 \) denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü yoktur. Çözüm kümesi reel sayılarda \( \emptyset \) (boş küme)'dir. Çözüm için karmaşık sayılar kullanılırsa, \( x = 4i \) ve \( x = -4i \) elde edilir.
