Soru:
Bir parçacık hızlandırıcıda, protonlar \( 2.5 \times 10^8 \) m/s hızla hareket etmektedir. Bu protonların kinetik enerjilerini MeV cinsinden hesaplayınız. (Protonun durgun kütlesi \( m_p = 1.67 \times 10^{-27} \) kg, \( c = 3 \times 10^8 \) m/s, \( 1 \text{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \) J)
Çözüm:
💡 Bu soruda göreceli kinetik enerji formülünü kullanmamız gerekiyor çünkü protonun hızı ışık hızının (\(c\)) önemli bir kısmı kadar.
- ➡️ Adım 1: Lorentz Faktörünü Hesaplama
Lorentz faktörü \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \) formülüyle bulunur.
\( v/c = (2.5 \times 10^8) / (3 \times 10^8) = 5/6 \approx 0.833 \)
\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (5/6)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 25/36}} = \frac{1}{\sqrt{11/36}} = \frac{6}{\sqrt{11}} \approx 1.809 \)
- ➡️ Adım 2: Göreceli Kinetik Enerji Formülü
Kinetik Enerji, \( K = (\gamma - 1) m_p c^2 \)
Önce \( m_p c^2 \)'yi hesaplayalım:
\( m_p c^2 = (1.67 \times 10^{-27}) \times (3 \times 10^8)^2 = 1.503 \times 10^{-10} \) J
- ➡️ Adım 3: Kinetik Enerjiyi Joule Cinsinden Bulma
\( K = (1.809 - 1) \times 1.503 \times 10^{-10} = 0.809 \times 1.503 \times 10^{-10} \approx 1.216 \times 10^{-10} \) J
- ➡️ Adım 4: Enerjiyi eV ve MeV Cinsine Çevirme
\( K (eV) = \frac{1.216 \times 10^{-10}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 7.6 \times 10^8 \) eV = 760 MeV
✅ Protonun kinetik enerjisi yaklaşık 760 MeV'dir.
