Polinom olma şartı konu anlatımı

\( R(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \) ifadesi bir polinom mudur? Cevabınızı açıklayınız.

💡 İlk bakışta paydada değişken olduğu için polinom değilmiş gibi görünebilir. Ancak, sadeleştirme yapıp yapamayacağımıza bakmalıyız.

• ➡️ Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım: \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \).
• ➡️ Orijinal ifadeyi yeniden yazalım: \( R(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \).
• ➡️ Burada \( x ≠ 1 \) koşuluyla \( (x-1) \) terimleri sadeleşir ve geriye \( R(x) = x + 1 \) kalır.

⚠️ Burada çok önemli bir nokta var! İlk verilen \( R(x) \) ifadesinin tanım kümesi \( x ≠ 1 \)'dir (paydayı sıfır yapan değer). Ancak sadeleştirme sonucu elde ettiğimiz \( x+1 \) ifadesinin tanım kümesi tüm gerçek sayılardır.

💡 Bir ifadenin polinom olup olmaması, onun en sade haline göre değil, bize verilen orijinal haline göre değerlendirilir. Orijinal ifadede değişken paydada bulunduğu ve bu sadeleştirmeye rağmen tanım kümesi tüm reel sayılar olmadığı için...

✅ Sonuç: Hayır, \( R(x) \) bir polinom değildir. Çünkü orijinal tanımında \( x=1 \) noktasında tanımlı değildir. Bir polinom, tüm reel sayılar için tanımlı olmalıdır.