Soru:
Bir ABC üçgeninin çevresi 24 cm'dir. A köşesinin karşısındaki BC kenarına ait dış teğet çemberin yarıçapı 8 cm, B köşesinin karşısındaki AC kenarına ait dış teğet çemberin yarıçapı 6 cm'dir. Bu üçgenin alanı (\( \Delta \)) kaç cm²'dir?
Çözüm:
💡 Bu soruda iki farklı dış teğet çemberin yarıçapı ve çevre verilmiş. Dış teğet çember formüllerini yazıp bir denklem sistemi kuracağız.
- \( r_a = \frac{\Delta}{s - a} \) ve \( r_b = \frac{\Delta}{s - b} \)
- ➡️ Adım 1: Yarı çevreyi (\( s \)) bulalım. Çevre 24 cm ise, \( s = 12 \) cm'dir.
- ➡️ Adım 2: Verilenleri formüllerde yerine koyalım.
- \( r_a = 8 = \frac{\Delta}{12 - a} \) ⟹ \( \Delta = 8(12 - a) \) ... (1)
- \( r_b = 6 = \frac{\Delta}{12 - b} \) ⟹ \( \Delta = 6(12 - b) \) ... (2)
- ➡️ Adım 3: (1) ve (2) numaralı denklemleri eşitleyelim. \( 8(12 - a) = 6(12 - b) \). Sadeleştirelim: \( 4(12 - a) = 3(12 - b) \Rightarrow 48 - 4a = 36 - 3b \Rightarrow -4a + 3b = -12 \) ... (3)
- ➡️ Adım 4: Yarı çevre formülünü kullanalım: \( a + b + c = 24 \). Bu denklemde c'yi yalnız bırakamayız ama (3) numaralı denklemde iki bilinmeyen var. Bu noktada, iki denklemi ortak çözmek için bir ilişki daha bulmamız gerekir. Ancak bizden istenen alandır (\( \Delta \)). (1) ve (2) numaralı denklemlerden herhangi birini kullanabiliriz ama içlerinde a veya b bilinmiyor. Bu durumda, (1) ve (2) numaralı denklemlerin çarpımını alıp bir yol izleyelim: \( \Delta \cdot \Delta = 8(12 - a) \cdot 6(12 - b) \Rightarrow \Delta^2 = 48 (12 - a)(12 - b) \). Bu ifade bizi sonuca götürmez. Bunun yerine, (1) ve (2) denklemlerini taraf tarafa toplamak da işe yaramaz. Alternatif bir yol: (1) ve (2) denklemlerinden \( 12 - a = \frac{\Delta}{8} \) ve \( 12 - b = \frac{\Delta}{6} \) yazabiliriz. Bu iki ifadeyi toplayalım: \( (12 - a) + (12 - b) = 24 - (a + b) = \frac{\Delta}{8} + \frac{\Delta}{6} \). Yarı çevre formülünden \( a + b = 24 - c \) yazabiliriz, ancak c bilinmiyor. Fakat \( 24 - (a + b) = c \) olduğunu fark edelim! Evet, \( 24 - (a + b) = c \) dir. O halde: \( c = \frac{\Delta}{8} + \frac{\Delta}{6} \).
- ➡️ Adım 5: Aynı şekilde, iç teğet çember formülünden \( \Delta = r \cdot s \) yazılabilir ama r bilinmiyor. Ancak, \( \Delta = r \cdot s \) formülünü ve \( \frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} \) gibi bir bağıntı vardır. Fakat \( r_c \) bilinmiyor. En kesin yol: \( 24 - (a + b) = c \) ve \( c = \frac{\Delta}{8} + \frac{\Delta}{6} = \Delta(\frac{1}{8} + \frac{1}{6}) = \Delta(\frac{3 + 4}{24}) = \frac{7\Delta}{24} \) bulduk. Yani \( c = \frac{7\Delta}{24} \). Aynı zamanda, \( \Delta = r_c \cdot (s - c) \) yazılabilir ama bu da sonuç vermez. Bu soru için en doğru yaklaşım: (1) ve (2) denklemlerini eşitleyerek bulduğumuz (3) numaralı denklemi (\( -4a + 3b = -12 \)) ve \( a + b + c = 24 \) denklemini birlikte düşünmeliyiz. Ancak üç bilinmeyenli iki denklem çözülemez. Sorunun bir çözümü olması için, üçgenin alan formülünü (\( \Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)) kullanmamız gerekir ki bu da karmaşık olur. Bu nedenle, sorunun klasik bir çözüm yolu şudur: \( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{1}{r} \) ve \( \Delta = r \cdot s \) bağıntılarını kullanırız. \( \frac{1}{r} = \frac{s}{\Delta} \) olduğundan, \( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{s}{\Delta} \). Verilenleri yerine koyalım: \( \frac{1}{8} + \frac{1}{6} + \frac{1}{r_c} = \frac{12}{\Delta} \). \( \frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{7}{24} \). O halde \( \frac{7}{24} + \frac{1}{r_c} = \frac{12}{\Delta} \) ... (4). Ayrıca, \( \Delta = r_c (s - c) = r_c (12 - c) \) ... (5). (4) ve (5) denklemleri birlikte çözülerek \( \Delta \) ve \( r_c \) bulunabilir. Ancak bu uzun sürer. Daha pratik bir varsayım: Sorunun bir sayısal cevabı olmalı. (1) ve (2) denklemlerinden \( \Delta = 8(12-a) \) ve \( \Delta = 6(12-b) \). Buradan \( 12-a = \frac{\Delta}{8} \), \( 12-b = \frac{\Delta}{6} \). Bu iki ifadeyi çarparsak: \( (12-a)(12-b) = \frac{\Delta^2}{48} \). Aynı zamanda, \( (s-a)(s-b) = (s)(s-c) \) gibi bir bağıntı vardır (İspatı: \( (s-a)(s-b) = s^2 - s(a+b) + ab = s^2 - s(2s - c) + ab = s^2 - 2s^2 + sc + ab = -s^2 + sc + ab \). Bu, \( ab - (s^2 - sc) = ab - s(s-c) \)'ye eşit değildir. Yanlış bağıntı). Doğru ve hızlı çözüm: \( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} = \frac{s-a}{\Delta} + \frac{s-b}{\Delta} = \frac{2s - (a+b)}{\Delta} = \frac{2s - (2s - c)}{\Delta} = \frac{c}{\Delta} \). Evet! Bu çok önemli bir bağıntı. O halde: \( \frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{c}{\Delta} \Rightarrow \frac{7}{24} = \frac{c}{\Delta} \Rightarrow c = \frac{7\Delta}{24} \). Şimdi Heron formülünü yazalım: \( \Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \). Karesini alalım: \( \Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) \). \( (s-a)(s-b) \) ifadesini bulmak için yukarıdaki bağıntıyı kullanalım. \( \frac{1}{r_a} = \frac{s-a}{\Delta} \Rightarrow s-a = \frac{\Delta}{r_a} = \frac{\Delta}{8} \). Benzer şekilde, \( s-b = \frac{\Delta}{r_b} = \frac{\Delta}{6} \). Ayrıca \( s-c = 12 - c = 12 - \frac{7\Delta}{24} \). Ve \( s = 12 \). Heron formülünde yerine koyalım:
\( \Delta^2 = 12 \cdot \frac{\Delta}{8} \cdot \frac{\Delta}{6} \cdot (12 - \frac{7\Delta}{24}) \)
\( \Delta^2 = 12 \cdot \frac{\Delta^2}{48} \cdot (12 - \frac{7\Delta}{24}) \)
\( \Delta^2 = \frac{\Delta^2}{4} \cdot (12 - \frac{7\Delta}{24}) \)
Her iki tarafı \( \Delta^2 \) (sıfır değil) ile bölelim:
\( 1 = \frac{1}{4} \cdot (12 - \frac{7\Delta}{24}) \)
İki tarafı 4 ile çarpalım: \( 4 = 12 - \frac{7\Delta}{24} \)
\( \frac{7\Delta}{24} = 12 - 4 = 8 \)
\( 7\Delta = 8 \times 24 = 192 \)
\( \Delta = \frac{192}{7} \) cm².
✅ Sonuç: Üçgenin alanı \( \frac{192}{7} \) cm²'dir.
