Soru:
Çevrel çemberinin yarıçapı 5 cm olan bir eşkenar üçgenin, bir kenarına ait dış teğet çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Bir eşkenar üçgende tüm dış teğet çemberlerin yarıçapları birbirine eşittir. Önce eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğunu bulmalıyız.
- ➡️ Eşkenar üçgende çevrel çemberin yarıçapı (\( R \)) formülü: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \). Burada \( a \) kenar uzunluğu, \( R = 5 \) cm verilmiş.
- ➡️ Kenar uzunluğunu bulalım: \( 5 = \frac{a}{\sqrt{3}} \) → \( a = 5\sqrt{3} \) cm.
- ➡️ Eşkenar üçgenin yarı çevresi: \( s = \frac{3a}{2} = \frac{3 \times 5\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2} \) cm.
- ➡️ Eşkenar üçgenin alanı: \( \Delta = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(5\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \times 3 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4} \) cm².
- ➡️ Dış teğet çember yarıçap formülü: \( R_a = \frac{\Delta}{s - a} \). \( s - a = \frac{15\sqrt{3}}{2} - 5\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \).
- ➡️ Yerine koyalım: \( R_a = \frac{\frac{75\sqrt{3}}{4}}{\frac{5\sqrt{3}}{2}} = \frac{75\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{5\sqrt{3}} = \frac{75 \times 2}{4 \times 5} = \frac{150}{20} = \frac{15}{2} \).
✅ Sonuç: Eşkenar üçgenin dış teğet çember yarıçapı 7.5 cm'dir.
