Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninin kenar uzunlukları \( a=5 \), \( b=6 \), \( c=7 \) birimdir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı \( R = \frac{35}{8\sqrt{6}} \) birim olduğuna göre, \( b \) kenarına ait dış teğet çemberin yarıçapı (\( r_b \)) kaç birimdir?
Çözüm:
💡 Bu soruyu çözmek için farklı bir yaklaşım kullanacağız. Bir üçgende \( \frac{1}{r_b} = \frac{1}{R} + \frac{1}{r} \) bağıntısı vardır, burada \( r \) iç teğet çemberin yarıçapıdır. Ancak iç teğet çemberin yarıçapını bulmak için alana ihtiyacımız var. Önce alanı (\( \Delta \)) bulalım.
- ➡️ İlk adım, yarı çevreyi (\( s \)) hesaplamak. \( s = \frac{5+6+7}{2} = 9 \) birim.
- ➡️ İkinci adım, alanı (\( \Delta \)) hesaplamak. Heron Formülü: \( \Delta = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \) birim².
- ➡️ Üçüncü adım, iç teğet çemberin yarıçapını (\( r \)) bulmak. \( r = \frac{\Delta}{s} = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \) birim.
- ➡️ Dördüncü adım, verilen bağıntıyı kullanmak. \( \frac{1}{r_b} = \frac{1}{R} + \frac{1}{r} = \frac{1}{\frac{35}{8\sqrt{6}}} + \frac{1}{\frac{2\sqrt{6}}{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{35} + \frac{3}{2\sqrt{6}} \).
- ➡️ Paydaları eşitleyelim. \( \frac{8\sqrt{6}}{35} + \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{8\sqrt{6} \times 2}{35 \times 2} + \frac{3 \times 35}{2\sqrt{6} \times 35} = \frac{16\sqrt{6}}{70} + \frac{105}{70\sqrt{6}} \).
- ➡️ İkinci terimin payını ve paydasını \( \sqrt{6} \) ile genişletelim: \( \frac{105}{70\sqrt{6}} = \frac{105\sqrt{6}}{70 \times 6} = \frac{105\sqrt{6}}{420} = \frac{\sqrt{6}}{4} \).
- ➡️ Şimdi toplayalım: \( \frac{1}{r_b} = \frac{16\sqrt{6}}{70} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \sqrt{6} \left( \frac{16}{70} + \frac{1}{4} \right) = \sqrt{6} \left( \frac{32}{140} + \frac{35}{140} \right) = \sqrt{6} \times \frac{67}{140} \).
- ➡️ Son olarak, \( r_b = \frac{1}{\sqrt{6} \times \frac{67}{140}} = \frac{140}{67\sqrt{6}} \) birim. Rasyonel hale getirirsek: \( r_b = \frac{140\sqrt{6}}{67 \times 6} = \frac{140\sqrt{6}}{402} = \frac{70\sqrt{6}}{201} \) birim.
✅ Sonuç: \( b \) kenarına ait dış teğet çemberin yarıçapı \( \frac{70\sqrt{6}}{201} \) birimdir.
