9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenar İlişkileri Formülleri Nedir?

Question

Üçgende açı ve kenar ilişkilerinde en çok kullandığımız formüller üçgen eşitsizliği ve büyük açının karşısında büyük kenarın bulunması kuralı. Mesela bir üçgende bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük olmak zorunda, bunu sorularda sık unutuyorum. Ayrıca açılar ve kenarlar arasındaki orantıyı kurarken kafam karışıyor, özellikle soruda verilenler azsa.

Answer 1

Üçgende Açı ve Kenar İlişkileri

Üçgenlerde açılar ve kenarlar arasında belirli matematiksel ilişkiler vardır. Bu ilişkiler, üçgenlerin özelliklerini anlamak ve problem çözmek için temel oluşturur.

1. Üçgenin İç Açıları Toplamı

Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman \(180^\circ\)'dir.

• \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)

2. Dış Açı Özelliği

Bir üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

• \( \angle D = \angle A + \angle B \)

3. Kenar-Açı İlişkisi

Bir üçgende daha büyük açının karşısında daha uzun kenar, daha küçük açının karşısında daha kısa kenar bulunur.

• \( \angle A > \angle B > \angle C \) ise \( a > b > c \)

4. Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür.

• \( |b - c| < a < b + c \)
• \( |a - c| < b < a + c \)
• \( |a - b| < c < a + b \)

5. Pisagor Teoremi (Dik Üçgenlerde)

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir.

• \( a^2 + b^2 = c^2 \) (Burada \(c\) hipotenüstür.)

Answer 2

9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenar İlişkileri Formülleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 50° ve m(∠B) = 70° olduğuna göre, kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir? (Üçgenin kenarları a, b, c geleneksel isimlendirmeye göredir.)

a) a < b < c
b) b < a < c
c) c < b < a
d) a < c < b
e) c < a < b

Cevap: d) a < c < b
Çözüm: m(∠C) = 180° - (50° + 70°) = 60° bulunur. Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur: ∠B > ∠C > ∠A olduğundan b > c > a yani a < c < b sıralaması doğrudur.

Soru 2: Kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 10 cm olan bir üçgenin en büyük açısının ölçüsü kaç derecedir? (cos75° ≈ 0,26 ve cos120° = -0,5 alınız.)

a) 75°
b) 95°
c) 105°
d) 120°
e) 135°

Cevap: c) 105°
Çözüm: En büyük açı en uzun kenar (10 cm) karşısındadır. Kosinüs teoremi ile: \(10^2 = 5^2 + 7^2 - 2·5·7·cosα\) → 100 = 25 + 49 - 70cosα → cosα ≈ -0,37. Verilen değerler arasında cos105° ≈ -0,26'ya yakındır, bu nedenle açı 105° civarındadır.