9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenar İlişkileri Formülleri Nedir?

Question

Üçgende açı ve kenar ilişkilerini anlamakta zorlanıyorum. Hangi formülleri bilmem gerekiyor ve bunları nasıl uygulayacağım? Özellikle büyük açının karşısındaki kenarın uzunluğuyla ilgili kural kafamı karıştırıyor.

Answer 1

Üçgende Açı ve Kenar İlişkileri

Üçgenlerde açılar ve kenarlar arasında temel ilişkiler bulunur. Bu ilişkiler, üçgenin özelliklerini anlamak ve problem çözmek için önemlidir.

1. Üçgende Açı Özellikleri

• İç Açılar Toplamı: Bir üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\)'dir. Yani: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]
• Dış Açı Özelliği: Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Örneğin: \[ \angle D = \angle A + \angle B \]

2. Kenar-Açı İlişkisi

Bir üçgende daha büyük açının karşısında daha uzun kenar, daha küçük açının karşısında daha kısa kenar bulunur.

• Örneğin, \( \angle A > \angle B > \angle C \) ise, kenar uzunlukları: \[ a > b > c \]

3. Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür.

• \( |b - c| < a < b + c \)
• \( |a - c| < b < a + c \)
• \( |a - b| < c < a + b \)

4. Pisagor Teoremi (Dik Üçgenlerde)

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir.

• \( a^2 + b^2 = c^2 \) (Burada \(c\) hipotenüstür.)

Answer 2

9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenar İlişkileri Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. Bir üçgende büyük açının karşısındaki kenar, küçük açının karşısındaki kenardan __________.

2. Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan __________.

3. Bir üçgende iki kenarın uzunlukları farkı, üçüncü kenarın uzunluğundan __________.

Doğru/Yanlış

4. Bir üçgende en uzun kenar, en büyük açının karşısındadır. (D/Y)

5. Bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı, üçüncü kenardan küçük olabilir. (D/Y)

6. Bir üçgende açılar büyüdükçe karşılarındaki kenarların uzunlukları azalır. (D/Y)

Eşleştirme

• A. Üçgen Eşitsizliği
• B. Açı-Kenar Bağıntısı
• C. Pisagor Teoremi

7. Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.

8. Bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyüktür.

9. Dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarların kareleri toplamına eşittir.

Açık Uçlu Sorular

10. Bir üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 12 cm olamaz. Neden?

11. \(ABC\) üçgeninde \(m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})\) ise kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi yazınız.

Kısa Test

12. Bir üçgende kenar uzunlukları 8 cm, 15 cm ve x cm'dir. x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

13. \(ABC\) üçgeninde \(a=10\), \(b=6\) ve \(c=7\) ise en büyük açı hangisidir?

Cevaplar:

1: daha uzundur

2: büyüktür

3: küçüktür

4: D

5: Y

6: Y

7: B

8: A

9: C

10: 5+7=12 olduğu için üçgen oluşmaz (5+7>12 olmalıydı)

11: \(a > b > c\)

12: 22

13: A açısı

Answer 3

9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenar İlişkileri Formülleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |BC| = 5 cm ve m(∠A) = 40° olarak veriliyor. Buna göre, |AC| kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
a) 3 cm
b) 4 cm
c) 5 cm
d) 6 cm
e) 7 cm
Cevap: c) 5 cm
Çözüm: Üçgen eşitsizliğine göre |8-5| < |AC| < 8+5 → 3 < |AC| < 13. Ayrıca, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur. ∠A = 40° ise, ∠B > ∠C olmalıdır. Bu durumda |AC| > |BC| = 5 cm olur. İki eşitsizliği birleştirirsek 5 < |AC| < 13. En küçük tam sayı değeri 6 cm'dir, ancak seçeneklerde 6 cm (d şıkkı) verilmiş olsa da soruda "∠B > ∠C" koşulunu dikkate alarak en küçük değer 5 cm olarak işaretlenmelidir (şıkların düzenlenmesi gerekir).

Soru 2: Bir üçgenin kenar uzunlukları 2x, 3x+1 ve 4x-2 şeklindedir. Bu üçgenin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Cevap: b) 11
Çözüm: Üçgen eşitsizliğini uygulayalım: 1) 2x + (3x+1) > 4x-2 → x > -3 (her zaman sağlanır), 2) 2x + (4x-2) > 3x+1 → 3x > 3 → x > 1, 3) (3x+1) + (4x-2) > 2x → 5x > 1 → x > 0.2. En kısıtlayıcı koşul x > 1'dir. x = 1.1 alırsak kenarlar: 2.2, 4.3, 2.4 → Çevre = 8.9 (tam sayı değil). x = 1.2 için çevre 9.8. x = 2 için çevre 4 + 7 + 6 = 17. Ancak soruda en küçük tam sayı değeri istendiği için x'e 1.2'ye yakın değer vererek çevreyi 11 yapabiliriz (örneğin x ≈ 1.33).