Noktanın bir noktaya göre simetriği Test 2

Koordinat düzleminde P(x,y) noktasının A(a,b) noktasına göre simetriği olan Q noktasının koordinatları için aşağıdaki formüllerden hangisi doğrudur?

A) Q(2a-x, 2b-y)
B) Q(a-x, b-y)
C) Q(x-2a, y-2b)
D) Q(2x-a, 2y-b)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir noktanın başka bir noktaya göre simetriğini bulma konusunu ele alacağız. Simetri kavramını ve orta nokta formülünü kullanarak bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi adım adım görelim.

• 1. Simetri Kavramını Anlayalım:

  Bir $P(x,y)$ noktasının, bir $A(a,b)$ noktasına göre simetriği olan $Q$ noktası demek, $A$ noktasının, $P$ ve $Q$ noktalarının tam ortasında yer alması demektir. Yani, $A$ noktası, $P$ ve $Q$ noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasıdır.

• 2. Orta Nokta Formülünü Hatırlayalım:

  Koordinat düzleminde, $P_1(x_1, y_1)$ ve $P_2(x_2, y_2)$ gibi iki noktanın orta noktasının koordinatları $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ formülü ile bulunur.

• 3. Formülü Sorumuza Uyarlayalım:

  Bizim durumumuzda:

  • Başlangıç noktamız $P(x,y)$
  • Simetriğini aradığımız nokta $Q(x_Q, y_Q)$ olsun.
  • Orta noktamız ise $A(a,b)$'dir.

  Şimdi orta nokta formülünü kullanarak $A$ noktasının koordinatlarını $P$ ve $Q$ noktalarının koordinatları cinsinden yazalım:

  • $x$-koordinatı için: $a = \frac{x + x_Q}{2}$
  • $y$-koordinatı için: $b = \frac{y + y_Q}{2}$
• 4. $x_Q$ ve $y_Q$ Değerlerini Bulalım:

  Denklemleri $x_Q$ ve $y_Q$ için çözelim:

  • $x$-koordinatı için:

    $a = \frac{x + x_Q}{2}$

    Her iki tarafı $2$ ile çarpalım:

    $2a = x + x_Q$

    $x$'i karşıya atalım:

    $x_Q = 2a - x$

  • $y$-koordinatı için:

    $b = \frac{y + y_Q}{2}$

    Her iki tarafı $2$ ile çarpalım:

    $2b = y + y_Q$

    $y$'yi karşıya atalım:

    $y_Q = 2b - y$

• 5. $Q$ Noktasının Koordinatlarını Belirleyelim:

  Buna göre, $Q$ noktasının koordinatları $Q(x_Q, y_Q) = Q(2a-x, 2b-y)$ olarak bulunur.

Bu sonuç, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.