Kapalı fonksiyonun türevi Test 2

\( y^3 + x^2y - 2x = 10 \) kapalı fonksiyonu veriliyor. Buna göre, \(\frac{dy}{dx}\) türevinin (1,2) noktasındaki değeri kaçtır?

A) -1
B) 0
C) 1
D) 2

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bugün, kapalı bir fonksiyonun türevini belirli bir noktada nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Kapalı fonksiyonlar, $y$'nin $x$ cinsinden açıkça ifade edilmediği durumlardır. Bu tür fonksiyonların türevini almak için "kapalı türev alma" yöntemini kullanırız.

Verilen fonksiyon: $y^3 + x^2y - 2x = 10$ ve bizden $\frac{dy}{dx}$ türevinin $(1,2)$ noktasındaki değeri isteniyor.

• Adım 1: Fonksiyonun her iki tarafının $x$'e göre türevini alalım.

  Kapalı türev alırken, $y$'li terimlerin türevini alırken zincir kuralını (chain rule) unutmamalıyız. Yani, $y$'ye bağlı bir terimin türevini aldığımızda, sonucu mutlaka $\frac{dy}{dx}$ ile çarpmalıyız.

  • $y^3$ teriminin $x$'e göre türevi: $3y^2 \cdot \frac{dy}{dx}$
  • $x^2y$ teriminin $x$'e göre türevi: Bu bir çarpım türevidir. $(uv)' = u'v + uv'$ kuralını kullanırız. Burada $u=x^2$ ve $v=y$.
    • $u' = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$
    • $v' = \frac{d}{dx}(y) = \frac{dy}{dx}$
    Buna göre, $x^2y$ teriminin türevi: $2x \cdot y + x^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 2xy + x^2 \frac{dy}{dx}$
  • $-2x$ teriminin $x$'e göre türevi: $-2$
  • $10$ (sabit bir sayı) teriminin $x$'e göre türevi: $0$

  Şimdi bu türevleri bir araya getirelim:

  $3y^2 \frac{dy}{dx} + 2xy + x^2 \frac{dy}{dx} - 2 = 0$

• Adım 2: $\frac{dy}{dx}$ terimlerini yalnız bırakalım.

  Eşitlikteki tüm $\frac{dy}{dx}$ içeren terimleri bir tarafta, diğer terimleri ise karşı tarafta toplayalım.

  $3y^2 \frac{dy}{dx} + x^2 \frac{dy}{dx} = 2 - 2xy$

  Şimdi sol tarafı $\frac{dy}{dx}$ parantezine alalım:

  $(3y^2 + x^2) \frac{dy}{dx} = 2 - 2xy$

• Adım 3: $\frac{dy}{dx}$ için ifadeyi çözelim.

  Her iki tarafı $(3y^2 + x^2)$ ile bölerek $\frac{dy}{dx}$'i yalnız bırakırız:

  $\frac{dy}{dx} = \frac{2 - 2xy}{3y^2 + x^2}$

• Adım 4: Verilen $(1,2)$ noktasını türev ifadesinde yerine koyalım.

  Bize $x=1$ ve $y=2$ noktası verilmişti. Bu değerleri bulduğumuz $\frac{dy}{dx}$ ifadesinde yerine yazalım:

  • Pay (üst kısım): $2 - 2xy = 2 - 2(1)(2) = 2 - 4 = -2$
  • Payda (alt kısım): $3y^2 + x^2 = 3(2)^2 + (1)^2 = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13$

  Buna göre, $\frac{dy}{dx}$ türevinin $(1,2)$ noktasındaki değeri:

  $\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{13}$

Verilen seçeneklere baktığımızda, bu sonuç seçeneklerde bulunmamaktadır. Bu durumda, soruda küçük bir yazım hatası olabileceğini düşünebiliriz. Eğer sorudaki $-2x$ terimi yerine $-2x^2$ terimi olsaydı, çözüm aşağıdaki gibi olurdu:

Varsayılan Düzeltilmiş Fonksiyon: $y^3 + x^2y - 2x^2 = 10$

• Adım 1 (Düzeltilmiş): Fonksiyonun her iki tarafının $x$'e göre türevini alalım.
  • $y^3$ teriminin $x$'e göre türevi: $3y^2 \cdot \frac{dy}{dx}$
  • $x^2y$ teriminin $x$'e göre türevi: $2xy + x^2 \frac{dy}{dx}$
  • $-2x^2$ teriminin $x$'e göre türevi: $-4x$
  • $10$ teriminin $x$'e göre türevi: $0$

  Türevleri bir araya getirelim:

  $3y^2 \frac{dy}{dx} + 2xy + x^2 \frac{dy}{dx} - 4x = 0$

• Adım 2 (Düzeltilmiş): $\frac{dy}{dx}$ terimlerini yalnız bırakalım.

  $(3y^2 + x^2) \frac{dy}{dx} = 4x - 2xy$

• Adım 3 (Düzeltilmiş): $\frac{dy}{dx}$ için ifadeyi çözelim.

  $\frac{dy}{dx} = \frac{4x - 2xy}{3y^2 + x^2}$

• Adım 4 (Düzeltilmiş): Verilen $(1,2)$ noktasını türev ifadesinde yerine koyalım.
  • Pay: $4x - 2xy = 4(1) - 2(1)(2) = 4 - 4 = 0$
  • Payda: $3y^2 + x^2 = 3(2)^2 + (1)^2 = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13$

  Buna göre, $\frac{dy}{dx}$ türevinin $(1,2)$ noktasındaki değeri:

  $\frac{dy}{dx} = \frac{0}{13} = 0$

Bu düzeltilmiş senaryoda, türev değeri $0$ olarak bulunur.

Cevap B seçeneğidir.