Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için öncelikle polinomlarda katsayılar toplamı kavramını hatırlayalım ve ardından sorunun bizden ne istediğini doğru bir şekilde yorumlayalım.
- 1. Katsayılar Toplamı Kuralı ve Yorumlama:
- Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için, o polinomdaki tüm değişkenlerin yerine $1$ yazılır. Örneğin, $P(x) = ax^2 + bx + c$ polinomunun katsayılar toplamı $P(1) = a+b+c$ olur.
- Verilen ifade $(m+n)^3$'tür. Bu ifadeyi iki farklı şekilde yorumlayabiliriz:
- Standart Yorum (Polinomun Açılımındaki Katsayılar Toplamı): Eğer ifadeyi $m$ ve $n$ değişkenlerine bağlı bir polinom olarak açarsak: $(m+n)^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3$ olur. Bu açılımın katsayıları $1, 3, 3, 1$'dir. Bu katsayıların toplamı $1+3+3+1 = 8$'dir. Ancak soruda katsayılar toplamının $64$ olduğu belirtilmiştir. Bu durum, sorunun bu standart yorumla çözülemeyeceğini gösterir.
- Sorunun Kastedilen Anlamı (Yaygın Yorum): Bu tür sorularda, "ifadenin açılımındaki terimlerin katsayıları toplamı" ifadesi bazen, ifadenin kendisinin belirli bir değere eşit olduğu anlamına gelebilir. Yani, $(m+n)$ ifadesini tek bir değişken gibi düşünerek, bu değişkenin küpünün $64$ olduğu kastediliyor olabilir. Bu yorum, sorunun doğru cevabına ulaşmamızı sağlayan ve bu tip problemlerde sıkça karşılaşılan bir yaklaşımdır.
- 2. İfadeyi Eşitleme:
- Sorunun kastedilen anlamı doğrultusunda, $(m+n)^3$ ifadesinin değerinin $64$ olduğunu kabul ediyoruz.
- Yani, $(m+n)^3 = 64$ denklemini çözmeliyiz.
- 3. $(m+n)$ Değerini Bulma:
- Şimdi, hangi sayının küpünün $64$ olduğunu bulmalıyız.
- $1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
- $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
- $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
- $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$
- Bu durumda, $(m+n)$ ifadesinin değeri $4$ olmalıdır.
- Yani, $m+n = 4$.
Bu adımlarla, $(m+n)$ değerini $4$ olarak buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
