İfadesinin polinom olması için n kaç olmalıdır soru tipi Test 2

P(x) = (n² - 4)x³ + (n - 2)x² + 5x - 1 ifadesinin polinom olması için n'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) -4
B) -2
C) 0
D) 2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen bir ifadenin polinom olması için $n$ değerinin hangi şartları sağlaması gerektiğini ve bu şartları sağlayan $n$ değerlerinin toplamını bulmamız isteniyor. Haydi adım adım bu soruyu çözelim.

• 1. Polinom Tanımını Hatırlayalım:

  Bir ifadenin polinom olabilmesi için iki temel şart vardır:

  • Değişkenin (burada $x$) kuvvetleri (üsleri) doğal sayı (yani negatif olmayan tam sayı) olmalıdır.
  • Katsayılar reel (gerçek) sayılar olmalıdır.
• 2. Verilen İfadeyi İnceleyelim:

  Bize verilen ifade $P(x) = (n^2 - 4)x^3 + (n - 2)x^2 + 5x - 1$.

  Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $3$, $2$, $1$ (çünkü $5x = 5x^1$) ve $0$ (çünkü $-1 = -1x^0$) şeklindedir. Gördüğümüz gibi, tüm bu kuvvetler doğal sayıdır. Dolayısıyla, $x$'in kuvvetleri açısından bir problem yoktur.

• 3. Katsayıları İnceleyelim:

  Şimdi katsayılara bakalım:

  • $x^3$'ün katsayısı: $(n^2 - 4)$
  • $x^2$'nin katsayısı: $(n - 2)$
  • $x$'in katsayısı: $5$
  • Sabit terim: $-1$

  $5$ ve $-1$ zaten reel sayılardır. Geriye $(n^2 - 4)$ ve $(n - 2)$ ifadelerinin reel sayı olması şartı kalıyor. $n$ yerine hangi reel sayıyı yazarsak yazalım, $n^2 - 4$ ve $n - 2$ ifadeleri her zaman bir reel sayı olacaktır. Örneğin, $n$ bir köklü sayı, bir kesirli sayı veya herhangi bir reel sayı olabilir, bu ifadelerin sonucu yine reel sayı olur.

  Bu durumda, polinom tanımına göre $P(x)$ ifadesi her reel $n$ değeri için bir polinomdur. Eğer $n$ her reel değeri alabiliyorsa, $n$'nin alabileceği değerler toplamı sonsuz olurdu. Ancak seçeneklerde belirli tam sayı değerleri ve bunların toplamı verilmiş. Bu durum, sorunun genellikle lise müfredatında karşılaşılan özel bir yorumunu gerektirdiğini gösterir.

• 4. Sorunun Gizli Yorumunu Anlayalım:

  Bu tür sorularda, $x$'in kuvvetleri zaten doğal sayı olarak verildiğinde ve katsayılar her zaman reel sayı olduğunda, genellikle $n$'nin alabileceği "özel" değerler sorulur. Bu özel değerler, genellikle polinomun derecesini değiştiren, yani en yüksek dereceli terimin katsayısını sıfır yapan değerlerdir. Bu, sorunun "polinom olması için" ifadesinin, "polinomun derecesini değiştiren veya belirli bir formda olmasını sağlayan" şeklinde yorumlanması gerektiği anlamına gelir.

  Burada en yüksek dereceli terim $x^3$'tür. Bu terimin katsayısı $(n^2 - 4)$'tür. Eğer bu katsayı sıfır olursa, polinomun derecesi değişir (3. dereceden daha düşük bir dereceye düşer). Bu durum, sorunun bizden beklediği "özel" $n$ değerlerini bulmamızı sağlar.

• 5. $n$ Değerlerini Bulalım:

  $x^3$'ün katsayısını sıfıra eşitleyelim:

  $n^2 - 4 = 0$

  Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım (iki kare farkı özdeşliği):

  $(n - 2)(n + 2) = 0$

  Bu denklemin çözümleri bize $n$'nin alabileceği değerleri verir:

  • $n - 2 = 0 \implies n = 2$
  • $n + 2 = 0 \implies n = -2$

  Bu durumda, $n$'nin alabileceği değerler $2$ ve $-2$'dir. Bu değerler için $P(x)$ ifadesi hala bir polinomdur:

  • Eğer $n=2$ ise: $P(x) = (2^2 - 4)x^3 + (2 - 2)x^2 + 5x - 1 = 0x^3 + 0x^2 + 5x - 1 = 5x - 1$. Bu bir polinomdur.
  • Eğer $n=-2$ ise: $P(x) = ((-2)^2 - 4)x^3 + (-2 - 2)x^2 + 5x - 1 = 0x^3 - 4x^2 + 5x - 1 = -4x^2 + 5x - 1$. Bu da bir polinomdur.

  Bu yorumla, $n$ için sonlu sayıda değer bulmuş olduk ve bu değerler seçeneklerle uyumlu bir toplam verebilir.

• 6. $n$'nin Alabileceği Değerler Toplamını Bulalım:

  Bulduğumuz $n$ değerleri $2$ ve $-2$'dir. Bu değerlerin toplamı:

  $2 + (-2) = 0$

Bu özel yorum, sorunun seçenekleriyle uyumlu tek çözümü sunar. Unutmayın, matematiksel olarak daha geniş bir tanım olsa da, bu tür sorularda genellikle bu "özel" durumlar hedeflenir.

Cevap C seçeneğidir.