Kosinüs teoremi formülü nedir? Test 2

Bir üçgenin iki kenarı 6 cm ve 9 cm, bu kenarlar arasındaki açı 60° olduğuna göre, üçüncü kenarın uzunluğu kaç cm'dir?

A) 3√7
B) 3√10
C) 3√13
D) 3√19

Sevgili öğrenciler, bu tür bir üçgen sorusunu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi, bir üçgenin iki kenarının uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü bilindiğinde, üçüncü kenarın uzunluğunu bulmamızı sağlar. Hadi adım adım ilerleyelim:

• 1. Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Bir üçgende kenarlar $a$, $b$, $c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar sırasıyla $A$, $B$, $C$ ise, Kosinüs Teoremi şu şekildedir:

  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

  Burada $c$ aradığımız üçüncü kenar, $a$ ve $b$ verilen iki kenar, $C$ ise bu $a$ ve $b$ kenarları arasındaki açıdır.

• 2. Verilen Bilgileri Yerine Koyalım:

  Soruda verilen bilgilere göre:

  • Bir kenar ($a$) $= 6$ cm
  • Diğer kenar ($b$) $= 9$ cm
  • Bu iki kenar arasındaki açı ($C$) $= 60^\circ$

  Şimdi bu değerleri Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirelim:

  $c^2 = (6)^2 + (9)^2 - 2 \cdot (6) \cdot (9) \cdot \cos(60^\circ)$

• 3. Hesaplamaları Yapalım:

  Öncelikle kareleri ve çarpımları hesaplayalım:

  • $6^2 = 36$
  • $9^2 = 81$
  • $2 \cdot 6 \cdot 9 = 108$

  Ayrıca, $\cos(60^\circ)$ değerini bilmemiz gerekiyor. $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$'dir.

  Şimdi bu değerleri denklemimize geri yazalım:

  $c^2 = 36 + 81 - 108 \cdot \frac{1}{2}$

• 4. Denklemi Basitleştirelim:

  Toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım:

  • $36 + 81 = 117$
  • $108 \cdot \frac{1}{2} = 54$

  Denklemimiz şu hale gelir:

  $c^2 = 117 - 54$

  $c^2 = 63$

• 5. Üçüncü Kenarın Uzunluğunu Bulalım:

  $c^2 = 63$ olduğuna göre, $c$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:

  $c = \sqrt{63}$

  Karekök içindeki sayıyı sadeleştirelim. $63 = 9 \cdot 7$ olduğu için:

  $c = \sqrt{9 \cdot 7}$

  $c = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7}$

  $c = 3\sqrt{7}$ cm

Buna göre, üçüncü kenarın uzunluğu $3\sqrt{7}$ cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.