Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iç içe köklü ifadeleri adım adım sadeleştirerek üslü ifadeye dönüştüreceğiz ve böylece $n$ değerini bulacağız. Üslü sayılar ve köklü sayılar arasındaki ilişkiyi iyi anlamak bu tür soruları çözmek için çok önemlidir. Haydi başlayalım!
- Adım 1: İfadeyi en içteki kökten başlayarak sadeleştirelim.
- Verilen ifade $ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}} = 3^n $ şeklindedir.
- En içteki köklü ifade $ \sqrt{3} $ şeklindedir. Köklü bir ifadeyi üslü olarak yazabiliriz: $ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $.
- Bu durumda, $ \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} $ olur.
- Adım 2: Bir sonraki seviyeyi sadeleştirelim.
- Şimdi $ 3\sqrt{3} $ ifadesine bakalım.
- $ \sqrt{3} $ yerine $ 3^{\frac{1}{2}} $ yazarsak: $ 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} $.
- Üslü sayılarda çarpma kuralını hatırlayalım: Tabanlar aynıysa üsler toplanır ($ a^m \cdot a^k = a^{m+k} $).
- $ 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} $.
- Adım 3: Bu ifadenin kökünü alalım.
- Şimdi $ \sqrt{3\sqrt{3}} $ ifadesini sadeleştireceğiz.
- $ 3\sqrt{3} $ yerine $ 3^{\frac{3}{2}} $ yazarsak: $ \sqrt{3^{\frac{3}{2}}} $.
- Yine köklü ifadeyi üslüye çevirme kuralını kullanalım: $ \sqrt[k]{a^m} = a^{\frac{m}{k}} $. Karekök için $k=2$'dir.
- $ (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} $. Üslü sayılarda üssün üssü kuralı: $ (a^m)^k = a^{m \cdot k} $.
- $ 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{4}} $.
- Adım 4: En dıştaki çarpma işlemini yapalım.
- Şimdi $ 3\sqrt{3\sqrt{3}} $ ifadesine bakalım.
- $ \sqrt{3\sqrt{3}} $ yerine $ 3^{\frac{3}{4}} $ yazarsak: $ 3 \cdot 3^{\frac{3}{4}} $.
- Yine üslü sayılarda çarpma kuralını kullanalım: $ 3^1 \cdot 3^{\frac{3}{4}} = 3^{1 + \frac{3}{4}} = 3^{\frac{4}{4} + \frac{3}{4}} = 3^{\frac{7}{4}} $.
- Adım 5: En dıştaki kökü alalım.
- Son olarak, $ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}} $ ifadesini sadeleştireceğiz.
- $ 3\sqrt{3\sqrt{3}} $ yerine $ 3^{\frac{7}{4}} $ yazarsak: $ \sqrt{3^{\frac{7}{4}}} $.
- Yine köklü ifadeyi üslüye çevirme kuralını kullanalım: $ (3^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} $.
- Üssün üssü kuralını uygulayalım: $ 3^{\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2}} = 3^{\frac{7}{8}} $.
- Adım 6: $n$ değerini bulalım.
- Soruda verilen ifade $ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}} = 3^n $ idi.
- Biz sol tarafı $ 3^{\frac{7}{8}} $ olarak bulduk.
- Yani, $ 3^{\frac{7}{8}} = 3^n $.
- Tabanlar eşit olduğunda üsler de eşit olmalıdır. Bu durumda $ n = \frac{7}{8} $ olur.
Cevap A seçeneğidir.
