Bir bankanın kasasının 5 haneli şifresi $4A3B2$ şeklindedir. Bu şifrenin hem 3'e hem de 4'e tam bölünebildiği bilinmektedir. Ayrıca, $A$ ve $B$ birbirinden farklı rakamlardır. Buna göre, $A+B$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım çözerek hem 3'e hem de 4'e bölünebilme kurallarını hatırlayacak, hem de mantıksal çıkarımlar yaparak sonuca ulaşacağız. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: 4'e Bölünebilme Kuralı
- Bir sayının 4'e bölünebilmesi için son iki basamağının 4'ün katı olması gerekir. Yani $B2$ sayısı 4'e tam bölünmelidir. Bu durumda $B$ yerine gelebilecek rakamlar 1, 3, 5, 7 ve 9'dur.
- Adım 2: 3'e Bölünebilme Kuralı
- Bir sayının 3'e bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir. Şifremiz $4A3B2$ olduğuna göre, rakamları toplamı $4 + A + 3 + B + 2 = 9 + A + B$ olmalıdır. Bu toplamın 3'ün katı olması için $A + B$'nin 3'ün katı olması gerekir (çünkü 9 zaten 3'ün katı).
- Adım 3: $A+B$'nin En Büyük Değerini Bulma
- $A + B$'nin en büyük değerini bulmak için $B$'ye verebileceğimiz en büyük değeri düşünelim. $B$'nin alabileceği en büyük değer 9'dur. Bu durumda $A + 9$'un 3'ün katı olması gerekir. $A$'nın alabileceği en büyük değer 9 olsa da, $A$ ve $B$ birbirinden farklı rakamlar olmalı. Bu yüzden $A$'ya 6 değerini verebiliriz. Bu durumda $A + B = 6 + 9 = 15$ olur.
- Adım 4: Diğer İhtimalleri Değerlendirme
- $B$'nin alabileceği diğer değerleri de kontrol edelim. Eğer $B = 7$ ise, $A + 7$'nin 3'ün katı olması gerekir. Bu durumda $A$ en fazla 8 olabilir ve $A + B = 8 + 7 = 15$ olur. Eğer $B = 5$ ise, $A + 5$'in 3'ün katı olması gerekir. Bu durumda $A$ en fazla 7 olabilir ve $A + B = 7 + 5 = 12$ olur. Eğer $B = 3$ ise, $A + 3$'ün 3'ün katı olması gerekir. Bu durumda $A$ en fazla 9 olabilir ve $A + B = 9 + 3 = 12$ olur. Eğer $B = 1$ ise, $A + 1$'in 3'ün katı olması gerekir. Bu durumda $A$ en fazla 8 olabilir ve $A + B = 8 + 1 = 9$ olur.
- Adım 5: Sonuç
- Gördüğümüz gibi, $A + B$'nin alabileceği en büyük değer 15'tir.
Cevap D seçeneğidir.
