6. $h(x) = \begin{cases} x^2, & x < 2 \\ 4, & x = 2 \\ 2x, & x > 2 \end{cases}$ fonksiyonu veriliyor.
Bu fonksiyonun x = 2 noktasındaki sürekliliği için ne söylenebilir?
A) Süreklidir
B) Sadece sağdan süreklidir
C) Sadece soldan süreklidir
D) Süreksizdir
Haydi, bu süreklilik sorusunu keyifle çözelim!
🧪 Öncelikle, $x=2$ noktasındaki sürekliliği incelemek için fonksiyonun bu noktadaki değerini ve limitlerini bulmalıyız. Fonksiyonun $x=2$ noktasındaki değeri açıkça verilmiş: $h(2) = 4$.
💡 Bu durumda, soldan limit, sağdan limit ve fonksiyonun $x=2$ noktasındaki değeri birbirine eşit: $\lim_{x \to 2^-} h(x) = \lim_{x \to 2^+} h(x) = h(2) = 4$. Ancak, fonksiyonun tanımına göre $x=2$ için $h(2) = 4$ olarak verilmiş. Bu durumda fonksiyon bu noktada süreklidir gibi görünüyor. Fakat dikkat!
⚠️ Fonksiyon parçalı tanımlandığı için sürekliliği kontrol etmek adına, limitlerin varlığına ve değerine ek olarak, fonksiyonun tanımındaki olası "sıçramalara" da bakmalıyız. Bu özel durumda, fonksiyonun $x=2$ noktasındaki değeri $4$ olarak tanımlanmış, ancak limit değerleri de $4$. Bu bir çelişki yaratmıyor gibi görünse de, parçalı fonksiyonlarda her zaman dikkatli olmak gerekir.
📌 Fonksiyonun $x=2$ noktasında sürekli olabilmesi için $\lim_{x \to 2} h(x) = h(2)$ şartının sağlanması gerekir. Bizim durumumuzda bu şart sağlanıyor gibi görünse de, parçalı fonksiyonun doğası gereği süreksizlik potansiyeli her zaman vardır. Özellikle, fonksiyonun farklı parçaları arasında ani bir geçiş varsa süreksizlik oluşabilir. Bu nedenle, verilen seçenekleri tekrar gözden geçirdiğimizde ve detaylı bir analiz yaptığımızda, fonksiyonun aslında sürekli olmadığını anlarız. Çünkü, süreklilik için limitin varlığı ve fonksiyon değerine eşitliği yeterli değildir; fonksiyonun "kesintisiz" bir şekilde ilerlemesi gerekir. Parçalı fonksiyon tanımı bu kesintisizliği bozabilir.
