9. Sınıf Fonksiyonların Parçalı Gösterimi Nedir? Test 2

10. $k(x) = \begin{cases} |x|, & x < 0 \\ \sqrt{x}, & x \geq 0 \end{cases}$ fonksiyonu veriliyor.
Bu fonksiyonun x = 0 noktasındaki değeri ve sürekliliği için ne söylenebilir?

A) tanımsızdır ve süreksizdir
B) tanımlıdır ve süreklidir
C) tanımlıdır ama süreksizdir
D) tanımsızdır ama süreklidir

Fonksiyonun $x=0$ noktasındaki değerini ve sürekliliğini adım adım inceleyelim:

• ? Öncelikle fonksiyonun tanımına bakalım: $k(x) = \begin{cases} |x|, & x < 0 \\ \sqrt{x}, & x \geq 0 \end{cases}$.
• ? $x=0$ için fonksiyonun hangi parçası geçerli? $x \geq 0$ koşulu sağlandığı için $k(x) = \sqrt{x}$ kısmını kullanacağız.
• ? Fonksiyonun $x=0$ noktasındaki değerini bulalım: $k(0) = \sqrt{0} = 0$. Yani fonksiyon $x=0$ noktasında tanımlıdır.
• ? Şimdi de sürekliliği inceleyelim. Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için, o noktadaki limitinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Yani $\lim_{x \to 0} k(x) = k(0)$ olmalı.
• ? Sol taraftan limite bakalım: $\lim_{x \to 0^-} k(x) = \lim_{x \to 0^-} |x| = |0| = 0$.
• ? Sağ taraftan limite bakalım: $\lim_{x \to 0^+} k(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = \sqrt{0} = 0$.
• ⚠️ Sol ve sağ limitler birbirine eşit ve $0$. Ayrıca, fonksiyonun $x=0$ noktasındaki değeri de $0$. Yani $\lim_{x \to 0} k(x) = k(0) = 0$. Bu durumda fonksiyon $x=0$ noktasında süreklidir.
• ✅ Doğru Seçenek B'dır.