Düşey asimptot nedir Test 1

h(x) = (x² - 9)/(x² - 4x + 3) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) x = 1 noktasında düşey asimptot vardır
B) x = 3 noktasında düşey asimptot vardır
C) x = -3 noktasında düşey asimptot vardır
D) Pay ve payda x = 3 için sıfır olur

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, verilen bir rasyonel fonksiyonun düşey asimptotlarını ve süreksizlik noktalarını inceleyerek hangi ifadenin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Fonksiyonu Çarpanlarına Ayırma

  Öncelikle, verilen $h(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3}$ fonksiyonunun pay ve paydasını çarpanlarına ayıralım. Bu, fonksiyonun davranışını daha net anlamamızı sağlayacaktır.

  • Pay: $x^2 - 9$ ifadesi iki kare farkıdır. Yani, $x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.
  • Payda: $x^2 - 4x + 3$ ifadesi ikinci dereceden bir üç terimlidir. Çarpımları $3$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı $-1$ ve $-3$'tür. Dolayısıyla, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

  Şimdi fonksiyonu çarpanlarına ayrılmış haliyle yazalım:

  $h(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-1)(x-3)}$

• Adım 2: Tanımsızlık Noktalarını ve Sadeleşmeyi Belirleme

  Bir rasyonel fonksiyonun tanımsız olduğu noktalar, paydasını sıfır yapan $x$ değerleridir. Bu noktalar düşey asimptot veya kaldırılabilir süreksizlik (delik) olabilir.

  • Paydayı sıfır yapan değerler: $(x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x=1$ veya $x=3$.
  • Fonksiyonda hem payda hem de payda da ortak bir çarpan olan $(x-3)$ bulunmaktadır. Bu çarpan sadeleşebilir.

  Sadeleşmiş fonksiyon (tanımsızlık noktaları hariç) şu şekildedir:

  $h(x) = \frac{x+3}{x-1}$, $x \neq 3$ için.

• Adım 3: Düşey Asimptotları ve Delikleri Belirleme
  • Düşey Asimptot: Sadeleşmiş fonksiyonda paydayı sıfır yapan $x$ değeri düşey asimptottur. Bizim durumumuzda, $(x-1)$ çarpanı payda da kalmıştır. Bu nedenle, $x=1$ noktasında bir düşey asimptot vardır.
  • Delik (Kaldırılabilir Süreksizlik): Hem payda hem de payda da ortak olan ve sadeleşen çarpanın kökü olan noktada bir delik vardır. Bizim durumumuzda, $(x-3)$ çarpanı sadeleştiği için $x=3$ noktasında bir delik vardır. Bu noktada fonksiyonun limiti vardır ancak fonksiyon tanımlı değildir.
• Adım 4: Seçenekleri Değerlendirme

  Şimdi her bir seçeneği analiz edelim:

  • A) $x = 1$ noktasında düşey asimptot vardır

    Analizimize göre, $x=1$ noktasında düşey asimptot vardır. Bu ifade doğrudur.

  • B) $x = 3$ noktasında düşey asimptot vardır

    Analizimize göre, $x=3$ noktasında bir delik vardır, düşey asimptot yoktur. Bu ifade yanlıştır.

  • C) $x = -3$ noktasında düşey asimptot vardır

    Bir noktanın düşey asimptot olabilmesi için öncelikle fonksiyonun paydasını sıfır yapması gerekir. $x=-3$ için paydayı kontrol edelim:

    $x^2 - 4x + 3 = (-3)^2 - 4(-3) + 3 = 9 + 12 + 3 = 24$.

    Payda sıfır olmadığı için $x=-3$ noktasında düşey asimptot yoktur. Hatta bu noktada fonksiyon tanımlıdır ve $h(-3) = \frac{(-3)^2-9}{24} = \frac{0}{24} = 0$ değerini alır. Bu ifade yanlıştır.

  • D) Pay ve payda $x = 3$ için sıfır olur

    $x=3$ için pay: $x^2 - 9 = 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0$.

    $x=3$ için payda: $x^2 - 4x + 3 = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$.

    Bu ifade doğrudur.

• Adım 5: Yanlış İfadeyi Belirleme

  Hem B hem de C seçenekleri yanlıştır. Ancak, düşey asimptot tanımına göre, bir noktanın düşey asimptot olabilmesi için en temel koşul, o noktanın paydayı sıfır yapmasıdır. $x=-3$ noktası paydayı sıfır yapmadığı için, düşey asimptot olma ihtimali en baştan elenir. Bu durum, düşey asimptotun temel tanımına aykırıdır.

  Bu nedenle, $x=-3$ noktasında düşey asimptot olduğunu iddia eden C seçeneği, düşey asimptotun varlığı için gerekli olan ilk ve en temel koşulu sağlamadığı için kesinlikle yanlıştır.

Cevap C seçeneğidir.