Bir fonksiyonun paydasının kökü aynı zamanda payının da kökü ise, bu nokta için aşağıdakilerden hangisi doğru olur?
A) Kesinlikle düşey asimptot vardırMerhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir rasyonel fonksiyonun pay ve paydasının ortak bir köke sahip olduğu özel bir durumu inceliyoruz. Bu tür durumlar, fonksiyonun o noktadaki davranışını anlamak için kritik öneme sahiptir.
Öncelikle, soruyu matematiksel olarak ifade edelim. Bir $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ fonksiyonumuz olsun. Eğer $x=a$ noktası hem payın ($P(a)=0$) hem de paydanın ($Q(a)=0$) bir kökü ise, bu, $(x-a)$ çarpanının hem $P(x)$ hem de $Q(x)$ içinde bulunduğu anlamına gelir. Yani, $P(x) = (x-a)^m \cdot P_1(x)$ ve $Q(x) = (x-a)^n \cdot Q_1(x)$ şeklinde yazabiliriz, burada $P_1(a) \neq 0$ ve $Q_1(a) \neq 0$ ve $m, n$ pozitif tam sayılardır.
Fonksiyonumuz bu durumda $f(x) = \frac{(x-a)^m \cdot P_1(x)}{(x-a)^n \cdot Q_1(x)}$ halini alır.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
A) Kesinlikle düşey asimptot vardır: Düşey asimptot, fonksiyonun o noktada sonsuza gitmesi durumunda oluşur. Bu, genellikle paydanın sıfır olduğu ancak payın sıfır olmadığı durumlarda meydana gelir. Eğer $m < n$ ise, $(x-a)$ çarpanı paydada daha fazla kalır ve $x \to a$ iken fonksiyon $\pm \infty$ değerine yaklaşabilir, yani düşey asimptot oluşur. Ancak, eğer $m \ge n$ ise, $(x-a)$ çarpanı sadeleşir ve fonksiyonun limiti sonlu bir değer olur. Dolayısıyla, "kesinlikle" düşey asimptot vardır diyemeyiz. Bu seçenek yanlıştır.
B) Kesinlikle düşey asimptot yoktur: Yukarıdaki açıklamadan da anlaşılacağı gibi, eğer $m < n$ ise düşey asimptot oluşabilir. Bu nedenle, "kesinlikle" düşey asimptot yoktur diyemeyiz. Bu seçenek de yanlıştır.
C) Limit hesaplanarak karar verilmelidir: Bu durum, $0/0$ belirsizliği olarak bilinir. Belirsizliği gidermek için $(x-a)$ çarpanlarını sadeleştirmemiz gerekir. Sadeleştirme sonrasında, $m$ ve $n$ değerlerinin karşılaştırılmasına göre üç farklı durum ortaya çıkar:
Eğer $m > n$ ise, $f(x) = (x-a)^{m-n} \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$ olur. Bu durumda $\lim_{x \to a} f(x) = 0 \cdot \frac{P_1(a)}{Q_1(a)} = 0$ olur.
Eğer $m = n$ ise, $f(x) = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$ olur. Bu durumda $\lim_{x \to a} f(x) = \frac{P_1(a)}{Q_1(a)}$ olur (sonlu ve sıfırdan farklı bir değer).
Eğer $m < n$ ise, $f(x) = \frac{P_1(x)}{(x-a)^{n-m} Q_1(x)}$ olur. Bu durumda $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ olur ve düşey asimptot vardır.
Görüldüğü gibi, fonksiyonun $x=a$ noktasındaki davranışı (limitin varlığı, değeri veya sonsuza gitmesi) $m$ ve $n$ değerlerine bağlıdır ve bu da ancak limit hesaplanarak belirlenebilir. Bu seçenek doğrudur.
D) Fonksiyon bu noktada süreklidir: Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması, limitinin var olması ve limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Ancak, $Q(a)=0$ olduğu için $f(a)$ tanımsızdır. Dolayısıyla, fonksiyon bu noktada sürekli olamaz. Bu seçenek yanlıştır.
Bu analizler sonucunda, fonksiyonun paydasının kökünün aynı zamanda payının da kökü olması durumunda, fonksiyonun o noktadaki davranışını belirlemek için limit hesaplaması yapılması gerektiği açıkça ortaya çıkmaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
